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Mundo exterior: Matemáticas - Tema I: Operaciones con vectores de Rn

Buenas!

Empezamos la última entrega del apasionante mundo de los vectores. Tras esta entrada haremos una pequeña serie de entradas informáticas, con un cierto regusto a estadística mezclado con criptografía, y (seguramente) aplicaciones Android...

¿¡A que suena emocionante!?

Pero no nos adelantemos...

Como siempre, dejo el índice de este primer tema.


  1. Matrices y vectores 
    1. Operaciones básicas
      1. Suma
      2. Resta
      3. Multiplicación
    2. Propiedades
    3. Otras operaciones
      1. Traza
      2. Simétricas
      3. Antisimétricas
    4. Determinantes
      1. Explicación
      2. Determinantes de orden 3
      3. Determinantes de orden 4
      4. Propiedades
      5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
    5. Rango
    6. Inversas
    7. Uso de parámetros
    8. Vectores de Rn
      1. Tipos
      2. Operaciones básicas
        1. Suma
        2. Producto escalar
      3. Dependencia / independencia lineal
      4. Subespacios de Rn
      5. Familias generadoras y bases
      6. Otras operaciones
        1. Norma euclidiana
        2. Producto de vectores
        3. Producto vectorial (restringido a R3)
    9. Sistemas de ecuaciones lineales
      1. Tipos


8.6. Otras operaciones

Veamos,  primero, como definimos el producto escalar de dos vectores:


(X1, …, Xn)*(Y1, …, Yn) = SiXiYi


  8.6.1. Norma euclidiana

Definimos el resultado de la norma euclidiana del vecto "V" como la raíz cuadrada de su cuadrado escalar, es decir:


V = (X1, …, Xn);

||V|| = (V2)-1 = (V*V)-1 = (SiXiXi)-1 


  8.6.2. Producto de vectores

El producto de vectores se basa en la norma euclidiana, usando, en vez de "V", "U" y "V".
Para normalizar las direcciones de los vectores, usamos un factor, en este caso el coseno que forman los vectores.

Es decir, el producto escalar de vectores es la multiplicación de:

 - ||U||
 - ||V||
 - cos(U, V)

Explicado de manera concisa, es:

V = (X1, …, Xn);
U = (Y1, …, Yn);


UV = ||U|| * ||V|| * cos(U, V) = (SiXiXi + SiYiYi)-1 * cos(U,V)



A sabiendas de esto, si U es perpendicular a V, el resultado será 0.

  8.6.3 Producto vectorial (Restringido a R3)

Para hallar el producto vectorial de dos vectores en R3, nos ayudamos de las matrices. Ejecutamos lo siguiente:



De esta operación, podemos extraer varias conclusiones:

  • El producto es un vector perpendicular a los vectores dados
  • Valdrá 0 si "U" y "V" son L.D.
  • Tienen orientación positiva respecto "U" y "Y" (ley de la mano derecha)
  • ||U^V|| = ||U|| * ||V|| * |sin(U,V)|
  • Esta operación se extrapola para operar con planos

9. Sistemas de ecuaciones lineales

  9.1. Tipos

Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales:

  • Incompatibles: 0 soluciones
  • Compatibles determinados: 1 solución
  • Compatibles indeterminado: infinitas soluciones
Esto es todo de este primer tema.

En la próxima entrada haremos un preámbulo para la nueva serie de entradas. De momento no se cuánto durará la nueva serie de entradas... a ver si para la próxima entrada lo puedo tener concretado.

Un saludo, y...

¡Hasta la próxima!