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Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Invertir integral, cambio de variable)

Buenas!

Esta vez ha pasado menos tiempo entre actualizaciones, ¿eh? :-)

Pues estaba estudiando F1V (Funciones de una variable) para mi próximo examen y he pensado... "un poco de blog sería una buena manera de estudiar :^p

Así que, entre estudio y estudio, vamos a ver cómo "invertir" una integral. Es decir, cómo intercambiar los valores de referencia (recordad que la integral interior era en función de la exterior).

¡Vamos allá!




Imaginemos que tenemos la siguiente integral doble:

ʃ[2, 1] dx ʃ[lnx, 0] dy f(x,y)


Podríamos invertir el orden de integración, de manera que:



ʃ[2, 1] dx ʃ[lnx, 0] dy f(x,y) = ʃ[ln2, 0] dx ʃ[2,ey] dy f(x,y)

Para demostrar gráficamente el cambio, podemos ver esta representación:

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Cuando integramos con dos variables, a veces es difícil delimitar el recinto, ya que es un trozo del espacio, no como sucede con las integrales de una variable, que son segmentos.

Para simplificar un poco, se usa lo que se conoce como cambio de variable (usando "t").

Para usar "t" procedemos así:
  • Simplificamos con "t"
  • Hacemos el diferencial de "t" dt (derivada de "t")
  • Despejamos "dx" de "dt"
  • Sustituimos el paso anterior en la integral
  • Integramos
  • Sustituimos
Para ilustrar el procedimiento, veamos un ejemplo:

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Tenemos una integral doble, y en la interior hacemos uso de "t", en la que fijamos "t" como

t = xy + 1

Seguimos un procedimiento normal, hasta que "deshacemos" la variable "t", y concluimos con (en este caso) una incongruencia.

Pulsad en la foto para hacerla grande y ver mejor el procedimiento.

Y esto es todo de momento, chicos.

La próxima será la última entrada del tema 3, y vuelva a Remote Tools...

Espero vuestros comentarios.

¡Hasta la próxima!