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Mundo exterior: Matemáticas - Tema 1: Determinantes, rangos, inversas y parámetros


Buenas!

Otra entrada más volvemos a las matemáticas; esta vez veremos determinantes, rangos, inversas y el uso de parámetros.

Como dije, aquí el índice con lo que veremos:

  1. Matrices y vectores 
    1. Operaciones básicas
      1. Suma
      2. Resta
      3. Multiplicación
    2. Propiedades
    3. Otras operaciones
      1. Traza
      2. Simétricas
      3. Antisimétricas
    4. Determinantes
      1. Explicación
      2. Determinantes de orden 3
      3. Determinantes de orden 4
      4. Propiedades
      5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
    5. Rango
    6. Inversas
    7. Uso de parámetros
    8. Vectores de Rn
      1. Tipos
      2. Operaciones básicas
        1. Suma
        2. Producto escalar
      3. Dependencia / independencia lineal
      4. Subespacios de Rn
      5. Familias generadoras y bases
      6. Otras operaciones
        1. Norma euclidiana
        2. Producto de vectores
        3. Producto vectorial (restringido a R3)
    9. Sistemas de ecuaciones lineales
      1. Tipos


4. Determinantes
  4.1. Explicación

Un determinante es un número, que puede ser expresado bien en forma de número, o bien en la forma de "operador" (así como, por ejemplo, "5" se puede representar como "5" o como "2+3").

El valor de un determinante representa el área de la suma de todos los vectores que lo conforman, determinando el signo de dicho valor en que dirección "giran" los vectores.

Dejo un escaneo de un ejemplo de mis apuntes:





























 4.2. Determinantes de orden 3

Los determinantes de orden 3 se calculan mediante "Sarrus". Esto es:

"Sumatorio del productorio de la diagonal principal y paralelas menos el sumatorio del productorio de la invertida a la diagonal principal y sus paralelas".

Un ejemplo:


           1  2  3
    A=  4  5  6
           7  8  9

|A| = (1*5*9+4*8*3+2*6*7)-(3*5*7+2*4*1+6*8*9)=45+96+84-105-8-432=-320


  4.3. Determinantes de orden 4

Para resolver un determinante de orden 4, podemos aplicar una serie de "meta-propiedades" de los determinantes, que nos vienen a decir que si combinamos de manera lineal las filas o columnas de un determinante, el resultado no varía (lo mismo pasa con el orden de las mismas).

De esta manera, podemos combinarlas (matemáticas de bachillerato) para obtener una fila (la primera, preferentemente) que conste de un número (no 0) y el resto todo de 0.

El resultado de este determinante sería el resultado de multiplicar el resultado del determinante complementario (es decir, el determinante que queda si eliminamos del mismo la fila "i" y la columna "j", siendo el elemento aij) por dicho elemento. Es decir:


       a b c d
A = e f g h
       i j k l
       m n o p

Transformamos:

      a’ b’ c’ d’
A= 0 f’ g’ h’
      0 j’ k’ l’
      0 n’ o’ p’

|A| = a’B


      f’ g’ h’
B= j’ k’ l’
     n’ o’ p’


  4.4. Propiedades

Los determinantes tienen las siguientes propiedades:

- Si multiplicamos una fila por "n", el resultado se multiplica por "n".
- Si se intercambia una fila de sitio, el determinante cambia de signo.
- A una fila, sumada otra fila multiplicada por "n", el determinante no cambia.

Todas ellas son aplicables tanto a filas como a columnas.

  4.5. Representación geométrica de determinantes de orden 3

Como explicaba al principio, el determinante representa un área (o volumen e 3 dimensiones, volumen en 4 dimensiones, etc).

Dejo una representación geométrica de un determinante de orden 3:



















5. Rango

Definimos el rango como el número de filas/columnas linealmente independientes en un determinante.

Para obtener el número de filas/columnas linealmente independientes (L.I.) basta con triangular con 0 el determinante, y sobre la marcha veremos el rango del mismo.

6. Inversas

Para calcular inversas usaremos el método de las dos triangulaciones:

 - Triangulas por abajo con 0
 - Triangulas por arriba con 0
 - Conviertes en I

Todo esto partiendo de una matriz/determinante "doble". Adjunto proceso:






















7. Uso de parámetros

El uso de parámetros en el estudio de rangos de matrices es bastante extenso. Para ello debemos aislar los casos "problemáticos" mediante el uso de las anteriores "meta-propiedades" mencionadas, pero teniendo en cuenta una regla especial:

- NO multiplicar (ni dividir) por parámetros NUNCA la fila sustituída.

Es decir:

2*fila1 + 1*fila2 => está bien
a*fila1 + 4*fila2 => está bien
23*fila1 + 2a*fila2 => MAL

Y con esto terminamos la entrada 2/5 del primer tema de matemáticas. La próxima entrada veremos hasta los subespacios de Rn.

Como siempre, saludos, y ¡Hasta la próxima!