La potencia de las potencias

Buenas!

Vaya, este año parece que estoy algo más presente por el blog, y yo que me alegro... resulta que estoy haciendo algunos avances en una librería que cree para mi TFG, y hoy os voy a compartir una cosilla un tanto curiosa que seguro os gustará

¡Vamos allá!

Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Cálculo de áreas)

Buenas!

Seguimos "al máximo" con las matemáticas (chiste de funciones MUY MALO, jejeje).

Comentaros que sigo estudiando matemáticas en la UNED (grado de matemáticas), y que, por tanto, en cuanto pueda volcaré mi conocimiento para que aquellos que quieran (y lo necesiten) puedan obtenerlo :-)

¡Más cosas!

Ya tengo preparado mi regalo de navidad... una Raspberry Pi, la cuál será sometida a un proceso de DIY, que documentaré en el blog de Cosplay & DIY (cosplayco), dejando la parte técnica aquí (escepticismoilustrado).

Recordaros también que estoy adelantando una sección de programación en YouTube (¡próximamente dejo links!)

Y, bueno, ahora sí, a lo que vamos...

Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Introducción)

Buenas!

Siguen los movimientos continuados en la vida... nuestro canal de YouTube va viento en popa (en breve dejaré un enlace permanente en la zona de secciones.

Y bien, mueve moviendo ya casi tengo mi certificado en ISPA (3 meses ya...), y en breve empiezo el grado de matemáticas en la UNED...

Y hablando de matemáticas, estas cinco entradas irán dedicadas al tercer tema de matemáticas de nuestro curso universitario ;-), concretamente, trataremos integrales dobles (tienen mucha fibra, aunque las integrales triples tienen mas :^P)

Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (Tabla de derivadas)

Buenas!

Dejo, como anexo, una serie de derivadas que podéis usar cuando os sirvan (nunca está de más...)

Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (fuciones de varias variables - ejemplos generales)

Buenas!

Ha sido tiempo sin escribir (creo)... como siempre, ando de culo!

En fin, se acerca el final de este segundo tema, con lo que se acerca también el inicio de la siguiente fase de la aplicación Remote Tools.

En esta entrada veremos varios ejemplos, que servirán para afianzar y repasar conceptos vistos con anterioridad.

Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (derivadas segundas)

Buenas!

Llevaba algún tiempo sin escribir... y es que vuelvo a andar liado y hasta arriba!

La parte positiva es que me siento inusualmente activo... jejeje. Por otra parte, queda poco para acabar este tema matemático y volver a saco con COBOL.

En mis ratos libres hago mis pequeñas investigaciones con COBOL para adaptar los requerimientos de la app... también he tenido (recientemente) una revelación: ¿se podría, de alguna manera, tratar un sudoku como una matriz - o conjunto de ellas? en ello estoy, también.

En fin, dejémonos de divagaciones y vamos a las matemáticas.

Esta entrada tratará de segundas derivadas.

Definimos las derivadas segundas como una función lineal que transforma el espacio de R2 en R.

Podríamos aventurarnos a lanzar una primera ecuación correspondiente a una segunda derivada en una función de varias variables, a saber:

f(x,y) ≈ f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) + ½ [f_xx(a,b)(x-a)² + 2f_xy(a,b)(y-b) + f_yy(a,b)(y-b)²]

f(x,y) ≈ f(a,b) + grad(f(a,b)) * R1 + ½ * R2 * H * R1

donde (por ejemplo) fxx es la derivada parcial de "x" sobre la derivada parcial de "x"; es decir, se aplican varias derivadas parciales sucesivas, tomando como variable la variable indicada.

Por otra parte, R1, R2, y H son matrices, tales que:

R1 = x-a

         y-b

R2 = (x-a   y-b)

H = f_xx    f_xy

       f_yx   f_yy

A "H" se le conoce como matriz Hessiana, y se suele denotar como "H(a,b)".

En el caso que nos atañe (funciones de dos variables), "H" es una matriz 2x2, y se dice que tiene dos valores propios (vaps): fxx y fyy (ya que fxy = fyx).

Veamos qué pasa con estos vaps:

• si det(H) = 0: alguno de los vaps. es 0
• si det(H) > 0: los dos vaps son mayores que 0, por tanto la función está por encima del plano "z"
• si (a+b) > 0: H(a,b) es simétrica, cuadrada, y se puede diagonalizar.
• si det(H) < 0: los dos vaps son menores que 0, por tanto la función está por debajo del plano "z"
• si (a+b) > 0: H(a,b) es simétrica, cuadrada y se puede diagonalizar.

En caso que sea 0, no nos reporta ninguna información útil (al parecer).

Veamos qué son los vaps. de H:

vaps(H(a,b)) = l₁, l₂

l_{1 *} l₂  = det(H) = f_xx*f_yy-f_xy2

l_{1 +} l₂  = f_{xx +} f_yy

veamos un ejemplo en el que se aplique todos estos conceptos:

f(x,y) = x² + y/3 + xy²

Derivada segunda en el punto (7,2)

f(7,2) = 49 + 2/3 + 7*4 = 233/3

f_x = 2x + y² => en (7,2) = 18

f_y = 1/3 + 2xy => en (7,2) = 85/3

f_xx = 2

f_xy = f_yx = 2x

f_yy = -2y

aplicamos fórmulas:

z = 233/3 + 18(x-7) + 85/3(y-2)

H_(a,b) = 2    2y

            2y  2x

H_(7,2) = 2   4

            4  14

det(H_(7,2)) = 12

2 + 14 = 16

_____________

vaps > 0

Plano tangente:

Z = z + ½(2(x-7)² + 2*4(x-7)(y-2) + 14(y-2)²)

Visto el ejemplo, pasemos a un inciso en las derivadas segundas: extremos relativos.

Para obtener los extremos relativos de una función de dos variables debe cumplirse lo siguiente:

fx = 0

fy = 0

Entonces, usando las fórmulas anteriores, obtendremos varios "juegos" de puntos. Basándose en los vaps de H(a,b), podemos saber qué tipo de extremo relativo estamos tratando:

• si los dos vaps > 0: mínimo
• si los dos vaps < 0: máximo
• si un vap > 0 y otro vap < 0: intersección (hacia un eje es mínimo, hacia otro es máximo)
• si algún vap = 0: no aporta información

Para obtener esto puntos, debemos ejecutar lo siguiente:

 - Obtenemos "fx" y "fy"

 - Obtenemos "fxx", "fxy", "fyy"

 - Igualamos "fx" y "fy" a 0, creando un sistema de ecuaciones

 - Resolvemos el sistema de ecuaciones

 - Para cada juego de soluciones, aplicamos H(a,b)

Y bien, con esto acabamos la cuarta entrega del segundo tema... las dos próximas serán cortas (ejemplos y utilidades).

Os dejo, y como siempre, ¡Hasta la próxima!

Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (Curvas de nivel, gradientes, etc)

Buenas!

Volvemos de nuevo con las matemáticas. Esta entrada tratará sobre curvas de nivel, gradientes, derivadas de una función en un punto... vamos por partes:

Curvas de nivel:

Cuando hablamos de las curvas de nivel de una función de dos (o varias) variables, solemos hacerlo como "la curva de nivel con z=k" (donde k es un número entero).

Esta curva de nivel es una función lineal que transforma (en el caso de las funciones de dos variables) un espacio de R2 en un espacio de R.

¿Y en qué consiste? En hallar todos los puntos de f(x,y) en los que ésta valga "k"; dicho de manera resumida:

f(x,y) = k

Veamos, como siempre, un ejemplo:

f(x,y) = 4 – x² – 2y²

Si queremos encontrar la curva de nivel de esta función con "k=0", tendríamos:

4 – x² – 2y² = 0;

x² + 2y² = 4

Y esto, como se puede ver, es una elipse con centro (0, 0) y radio sqrt(2)

Para la misma función, la curva de nivel con "k=2", sería:

4 – x² – 2y² = 2;

x² + 2y² = 2

Si hacemos varias curvas de nivel (k=0, k=1, k=2...), obtendríamos un conjunto de elipses concéntricas, con centro en (0, 0).

Es decir:

4 – x² – 2y² = k;

x² + 2y² = 4 - k;

Existe si 4 - k >= 0 (si k <= 0)

Obtenemos una elipse con centro (0, 0) y radio [(±sqrt(4 - k), 0), (0, ±sqrt((4 - k) / 2))]

Bien, ahora que ya sabemos cómo hacer curvas de nivel, es hora de pasar a las derivadas en un punto.

Derivadas de una función de varias variables en un punto

Definimos la derivada de una función de varias variables en un punto como el límite de un cociente incremental. 

Para resolver este tipo de derivadas, suele ser necesario el uso de derivadas parciales.

¿Qué es una derivada parcial? Es asumir una variable como tal, y el resto como constantes. Teniendo esta cláusula asumida, procedemos a hacer la derivada de la función como tal, aplicando más tarde (si lo hubiera) el conjunto de valores dados en la derivada.

Vamos a verlo mejor con un ejemplo:

Partimos de una función:

f(x,y) = x²y – 3x + e^2y

Y queremos obtener la derivada de esta función en el punto (2, -3). Así, procedemos a hacer las derivadas parciales de "x" e "y".

df/dx = 2xy – 3 + 0

df/dy = x² + 0 + 2e^2y

Comprobamos como, mediante las reglas básicas de derivación podemos obtener estas expresiones.

Ahora no queda más que aplicar los valores dados en el enunciado, y obtenemos un vector (x, y) tal que:

f'(x, y) (2, -3) = (-15, 4,005)

A este vector se le llama "gradiente". Vamos a ello:

Gradientes:

Veamos algunas de sus propiedades:

• La dirección y el sentido de derivada direccional máxima es cuando el vector (v1, v2) es el gradiente. Este pendiente máximo (derivada direccional) vale la longitud del gradiente (ya que cos = 1)
• La dirección y el sentido de derivada direccional mínima es cuando el vector (v1, v2) es la inversa del gradiente (ya que cos = -1)
• Si el vector (v1, v2) es perpendicular al gradiente de la función en (a, b), la derivada en el punto (a, b) de f(v1, v2) es 0.

Ahora, veamos qué pasa si los combinamos con las curvas de nivel:

Si las líneas de la curva de nivel de una función están juntas entre si, significa que, a poca variación de "x", hay mucha variación de "y", y, por tanto, el gradiente de f(x,y) es más grande.

Suponiendo que el punto (x, y) está cerca de (a, b):

f(x,y) ≈ f(a,b) + (x – a)*(df/dx) + (y – b)*(df/dy) ≈ f(a,b) + (x – a, y – b) * grad(f(a,b))

Y definimos el plano tangente "Z" como:

Z = f(a,b) + (x – a, y – b) * grad(f(a,b))

(a ≈ x, b ≈ y)

Si el plano "Z" es nulo ("Z" = 0), nos encontramos ante un punto de inflexión:

 - Máximo

 - Mínimo

 - Max/Min

La utilidad de esto lo veremos en la próxima entrada, dedicada íntegramente a derivadas dobles.

Así, el planning queda así:

 Parte IV: derivadas dobles

 Parte V: ejemplos

 Parte VI (anexo): utilidades y tabla de derivadas inmediatas

Como siempre, ¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Matemáticas - Tema II (Representación de funciones con dos variables)

Buenas!

Seguimos con las "mates"; pero antes, un pequeño inciso (como viene siendo costumbre últimamente).

Ya le he dado uso a mi disco duro externo: he colocado todas las distro que uso, he usado y (en un futuro) usaré. Dejo la lista:

• Hiren's Boot 15
• WifiWay 3.4
• AVG Rescue CD
• Dr.Web Live CD
• Kaspersky Rescue Disk
• BackTrak 5
• Ophcrack XP
• Ophcrack Vista/7
• Partition wizard
• Linux Mint Mate x86
• Helix3 R1

Y, aparte, tengo destinado un futuro emplazamiento para mis tablas rainbow y demás (capturas de tráfico, informes...) jejeje.

En fin, sigamos con las matemáticas: en esta entrada veremos la representación de funciones de dos variables.

Para ello, distinguiremos dos tipos de funciones:

 - Cónicas

 - No cónicas

Empecemos con el primer tipo:

Cónicas:

Las funciones cónicas tienen la siguiente forma:

f(x, y) = Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

El término "Cxy" determina la orientación de la función: si "C" vale 0, los ejes de la cónica serán rectos.

No cónicas:

A riesgo de parecer muy obvio, si no cumple la forma anterior, no es cónica...

De momento, pasaremos a otro punto importante, para luego retomar la identificación de las cónicas. Hablemos ahora de los dominios de las funciones.

El dominio de una función de dos variables es una función tal que convierte el espacio R2 en R. En esta "transformación", tenemos que evaluar (pues pueden resultar conflictivos) una serie de casos, a saber: 

• A / B => si B = 0
• √A => si A < 0
• Ln(A) => si a <= 0
• arcsin(A) => si |A| >= 1

Como vemos, son casos problemáticos, pues producen "fallo" en los cálculos. Así, el análisis de dominio de una función se basará en estos puntos. Vamos con un ejemplo:

f(x, y) = sqrt((x² – y² + 4) / ((x – 1)² + y² – 9)) (sqrt() = raíz cuadrada)

He coloreado los paréntesis para que se puedan distinguir fácilmente. Veamos qué casos son "peligrosos" para la evaluación de esta función:

a) ((x – 1)² + y² – 9) = 0

b) (x² – y² + 4) / ((x – 1)² + y² – 9) < 0

Vamos a justificar ambos casos:

 - Si la expresión "a" se cumple, se haría una división por 0, por lo que de la raíz cuadrada ni hablamos.

 - Si la expresión "b" se cumple, no podemos hacer  la raíz cuadrada (al menos dentro del cuerpo de los reales, que es donde trabajamos)

El procedimiento para evaluar estas anomalías creo que será conocido: miramos qué condiciones hay que cumplir para que pase:

a) ((x – 1)² + y²) = 9

Si se cumple esto, tendríamos un problema. Vemos que la función de arriba define una circunferencia caracterizada por los siguientes datos:

 * Origen: (-1, 0)

 * Radio: 3 (sqrt(9))

Para los que no sepáis de donde viene esto, un inciso: la función que define una circunferencia es la siguiente:

f(x, y) = (x+a)^2 + (y+b)^2 = c

De aquí obtenemos:

 * Origen: (a, b)
 * Radio: sqrt(c)

b) Se divide en dos:

b1) ((x – 1)² + y²) = 9 (ya resuelta)

b2) (x² – y²) = -4 => ±sqrt(x² + 4) = y => y = ±(x+2)

La solución de "b2" es una fórmula de circunferencia, pero con "c" negativo (por lo que es, en realidad, una parábola doble).

Para no abusar tanto del escaneo de apuntes, voy a echar mano de mi amigo "Corel" para ilustrar un poco el panorama: 

Si representamos ambas soluciones, quedan delimitadas 7 zonas, marcadas arriba. Del mismo modo que en la entrada anterior, comprobamos el signo de las ecuaciones "a" y "b" y calculamos su "total".

En este caso, nos interesan las zonas que sean mayores que 0 (positivas), ya que a fin de cuentas tendremos que hacer una raíz cuadrada.

Diríamos, en este caso, que la función solo tiene dominio en las zonas 2, 3, 5, y 6.

Una vez visto un ejemplo de aplicación de dominio, volvamos a las cónicas.

Identificación de cónicas:

f(x, y) = Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (suponemos "C" = 0)

Pongamos un ejemplo:

4x² – y² + 3x + 2y – 25 = 0

(2x + ¾)² – 9/4 – (y² – 2y) – 25 = 0

(2x + ¾)² – 9/4 – [(y – 1)² - 1] – 25 = 0

(2x + ¾)² – (y – 1)² = 105/4

Vamos a explicar un poco cómo llegamos a la forma de abajo (antes os comentaba que era la función que define una circunferencia).

Paso 1: Tenemos la ecuación tal cual

Paso 2: Agrupamos los términos con "x" (marcados en rojo), y factorizamos. Agrupamos también los términos con "y" (marcados de azul verdoso)

Paso 3: nos valemos de la siguiente expresión inmediata para ejercer el cambio sobre los términos "y":

(ax + b)² = a²x² + 2abx + b²

Ya que se cumple, podemos sustituir.

Paso 4: Despejamos para dejar en forma de "circunferencia".

Ahora bien, una vez tenemos nuestra ecuación "arreglada", tenemos que ver varias cosas:

Si sig("A") != sig("B") => hipérbola

Si sig("A") = sig("B") => elipse o circunferencia (puede ser imaginaria)

"sig()" es una función que obtiene el signo del coeficiente especificado.

Si tenemos una circunferencia es fácil dibujarla (buscamos el centro y usamos el radio); si es una hipérbola,  una elipse, o en general, procedemos así:

• Buscamos el centro
• Buscamos los puntos "x" e "y" en el centro
• Dibujamos los puntos

Vamos por partes, con una versión un poco diferente al ejemplo anterior ((2x + ¾)² + (y – 1)² = 105/4):

Obtener el centro:

Para ello, tomamos parte de la ecuación (la correspondiente a cada variable, sin cuadrado) y la igualamos a 0, tal que: 

2x + 3/4 = 0 => x = -3/8

y - 1 = 0 => y = 1

Obtenemos nuestro punto (-3/8, 1), que es el centro.

Puntos "x" e "y" en el centro

Usando los valores del centro, resolvemos la ecuación correspondiente a la variable contraria, usando el cuadrado, tal que: 

(para x = -3/8): (y - 1)² = 105/4; y = 1±sqrt(105/4)

(para y = 1): (2x + 3/4)² = 105/4; x = (±sqrt(105/4) - 3/4)/2

y obtenemos estas dos expresiones: 

x = (±sqrt(105/4) - 3/4)/2

y = 1±sqrt(105/4)

Que usaríamos para dibujar (en este caso) nuestra elipse.

En el caso anterior (con los términos restando) obtenemos que en "y" no hay punto aplicable (ya que queda "y = 1±sqrt(-105/4)", y no hay solución real para ello), y "x" queda igual.

Con esto acabamos por esta vez. La próxima entrada tratará de curvas de nivel, gradientes y demás cosas similares (mis apuntes tienen una estructura un poco caótica... jejeje).

Como siempre, ¡Nos vemos!

Mundo exterior: Matemáticas - Tema II (Inecuaciones)

Buenas!

Llevaba tiempo sin escribir... en parte es "buena señal", ya que eso indica que hay algunos cambios.

Y sobre eso hablaremos antes de meternos de lleno en las matemáticas (funciones de diversas variables).

Siendo concretos, hay dos temas a comentar:

a) Un par de cambios
b) Un nuevo hilo "bloguero" a raíz de los cambios anteriores.

a) Ayer (jueves 25/abril) se celebró en mi ciudad el campeonato local de Robocode. Para el que no conozca este proyecto, lo explico brevemente:

Tomas un código fuente JAVA (también está la versión en C, que aún no he probado), y con él programas un tanque (robot). Esta programación no se basa en eventos interactivos (es decir, no lo tripulas, simplemente lo "sueltas" en el campo de batalla), sino en eventos a tiempo real. Principalmente hay cuatro interacciones que hacen saltar estos eventos:

 - El tanque choca contra una pared
 - El tanque choca contra otro tanque
 - El tanque es golpeado por una bala
 - El tanque detecta otro tanque

En base a estos eventos podemos "decirle" al tanque que haga ciertas cosas, como, por ejemplo:

"Cuando detectes otro tanque, dispara".

Obviamente, en JAVA, usando la API de Robocode.

Pues bien, me presenté, así como en la anterior edición (en la que gané en el sector individual), y este año si bien no rasqué nada en individual sí que quedé subcampeón en la modalidad de equipos (un grupo de 5 tanques programados por una persona).

Y me llevé como premio un disco duro externo WD passport de 2tb con conexión USB 3.0

De momento su uso está siendo pensado, ya que en casa tengo otro disco externo de 2tb...

b) Dejaré en la lista de hilos un tema dedicado a mi próxima creación para el próximo campeonato de Robocode.

Es decir, documentaré desde el inicio de la idea (ya en mi cabeza) hasta las clases JAVA que use.

Y bien, vayamos ahora a las matemáticas!

Entramos en el tema II, funciones de diversas variables.

En esta entrada veremos (de momento) las inecuaciones, a modo de introducción.

Antes de entrar en temario, vamos a definir formalmente una función:

f: Rⁿ  à R^m

Es decir, toman un espacio de Rn (véase tema anterior) y lo adaptan a Rm. Ni "n" ni "m" tienen por que ser iguales o siquiera guardar un orden específico.

Ahora si, vayamos a las inecuaciones.

¿Qué es una inecuación?

Es una desigualdad que marca una relación entre valores conocidos y valores desconocidos. Un ejemplo:

2x - 4 > (2/3) - 7x

Vamos a resolverla:

[Pasamos -7x de un lado al otro como +7x, mientras que -4 lo pasamos como +12/3 a la otra parte]

9x > 14/3

x > 14/27

Como se puede apreciar, no es más que un poco de sentido común y aplicar las reglas de las ecuaciones. Amén de tener en cuenta una serie de cosas:

• No simplificar ninguna variable
• No multiplicar por "X" (o "Y", o ...)
• No dividir por "X" (...)
• Mantener las proporciones (hemos de tener en cuenta que al ser inecuaciones, hemos de vigilar que se mantenga la desigualdad)

La inecuación que hemos visto antes era una simple (1º grado). Vamos ahora con las inecuaciones de 2º grado:

x² + x >2

x² + x – 2 > 0

x² + x – 2 = 0

x = 1; x = -2

Expliquemos:

Primero "inigualamos" a 0. Una vez hecho, lo pasamos a una ecuación de 2º grado normal, y calculamos los valores de X. De ahí obtendremos lo que llamaremos "puntos de corte". Lo podemos representar así:

Vemos tres zonas: rojo, azul, y verde. La primera y la tercera toman valores positivos (>0), y ya que lo que buscamos es una x tal que sea positiva, podemos concluir que la solución a la inecuación es el conjunto:

(-∞, -2)U(1, +∞)

Con este concepto claro, vayamos ahora un paso más allá: inecuaciones racionales. Como antes, un ejemplo que lo ilustre:

(x² + x) / (x + 3) >= 2

((x² + x) / (x + 3)) – 2 >= 0

(x² - x - 6) / (x + 3) >= 0

a) x² - x – 6 = 0

x = 3;x = -2

b) x+ 3 = 0

x = -3

Expliquemos: 

Dejamos "desigualado" a 0 (como antes). Una vez hecho, intentamos simplificar (en este caso, hemos "subido" el 2 multiplicado por "x+3" y lo hemos sumado al numerador). Ahora solo nos falta igualar tanto el numerador como el denominador a 0; esto nos dará dos ecuaciones que podemos calcular, obteniendo dos juegos de soluciones ("a" y "b").

De nuevo, tenemos más puntos de corte. En este caso, algo así:

Vamos a explicar esta confusión de números, colores y líneas:

La franja de arriba corresponde a la ecuación del numerador; la de arriba al denominador. En ambas están marcados los cambios de signos. A saber:

Numerador: Rojo > 0, azul < 0, violeta > 0

Denominador: Naranja < 0, verde > 0

Las líneas grises que cruzan ambas zonas son las soluciones anteriores (-3, -2, y 3). Esto crea cuatro zonas "comunes", que serán sobre las que calcularemos la solución.

Para saber el signo de estas zonas, tenemos que "sumar" (usando la ley de los signos) los resultados obtenidos en las zonas de cada ecuación.

Ya que la primera zona (la de más a la izquierda) es "positivo + negativo", obtenemos "negativo". Vamos haciendo para las cuatro zonas.

Así, ya que buscamos un "x >= 0", podemos concluir que la solución es:

(-3, -2] U [3, ∞)

A continuación, quedan dos pasos de dificultad, que veremos a la vez (escaneado de mis viejos apuntes):

 - Inecuaciones don dos variables

 - Inecuaciones de 2º grado con dos variables

El procedimiento para resolver ambas es similar al anterior:

"Desigualamos" a 0, pasamos a ecuación normal, despejamos "y", y usamos el resultado como una función (f(x)). Seguidamente representamos la función, la cual nos delimita las zonas (así como antes eran líneas, ahora son funciones). Basta con tomar vectores (a, b) estratégicamente para saber el signo de las zonas, para obtener la zona que nos pida la inecuación.

Y con esto tenemos cubierta la primera parte del tema II.

Como siempre, ¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Matemáticas - Tema I: Operaciones con vectores de Rn

Buenas!

Empezamos la última entrega del apasionante mundo de los vectores. Tras esta entrada haremos una pequeña serie de entradas informáticas, con un cierto regusto a estadística mezclado con criptografía, y (seguramente) aplicaciones Android...

¿¡A que suena emocionante!?

Pero no nos adelantemos...

Como siempre, dejo el índice de este primer tema.

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

8.6. Otras operaciones

Veamos,  primero, como definimos el producto escalar de dos vectores:

(X₁, …, X_n)*(Y₁, …, Y_n) = S_iX_iY_i

  8.6.1. Norma euclidiana

Definimos el resultado de la norma euclidiana del vecto "V" como la raíz cuadrada de su cuadrado escalar, es decir:

V = (X₁, …, X_n);

||V|| = (V²)^-1 = (V*V)^-1 = (S_iX_iX_i)^-1 

  8.6.2. Producto de vectores

El producto de vectores se basa en la norma euclidiana, usando, en vez de "V", "U" y "V".
Para normalizar las direcciones de los vectores, usamos un factor, en este caso el coseno que forman los vectores.

Es decir, el producto escalar de vectores es la multiplicación de:

 - ||U||
 - ||V||
 - cos(U, V)

Explicado de manera concisa, es:

V = (X₁, …, X_n);
U = (Y₁, …, Y_n);

UV = ||U|| * ||V|| * cos(U, V) = (S_iX_iX_i + SiYiYi)^-1 * cos(U,V)

A sabiendas de esto, si U es perpendicular a V, el resultado será 0.

  8.6.3 Producto vectorial (Restringido a R3)

Para hallar el producto vectorial de dos vectores en R3, nos ayudamos de las matrices. Ejecutamos lo siguiente:

De esta operación, podemos extraer varias conclusiones:

• El producto es un vector perpendicular a los vectores dados
• Valdrá 0 si "U" y "V" son L.D.
• Tienen orientación positiva respecto "U" y "Y" (ley de la mano derecha)
• ||U^V|| = ||U|| * ||V|| * |sin(U,V)|
• Esta operación se extrapola para operar con planos

9. Sistemas de ecuaciones lineales

  9.1. Tipos

Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales:

• Incompatibles: 0 soluciones
• Compatibles determinados: 1 solución
• Compatibles indeterminado: infinitas soluciones

Esto es todo de este primer tema.

En la próxima entrada haremos un preámbulo para la nueva serie de entradas. De momento no se cuánto durará la nueva serie de entradas... a ver si para la próxima entrada lo puedo tener concretado.

Un saludo, y...

¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte II

Buenas!

Esta entrada vuelve a tratar sobre el mundo exterior... para tratar de nuevo el tema de los vectores de Rn.

Por otra parte, mis proyectos siguen trayectorias diferentes a lo que realmente me gustaría, pero así es la vida y poco se puede hacer con las cosas que son como son...

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

8.5. Familiar generadoras y bases

Definimos una familia generadora "V₁, ..., V_n" de la siguiente forma:

"V₁, ..., V_n" es una familia generadora de "F" sii para cualquier elemento perteneciente a "F" éste es una combinación lineal de "V₁, ..., V_n".

Es decir, si "F" es la colección de combinaciones lineales de "V₁, ..., V_n"

Dado un "V₁, ..., V_n" que es familia generadora (FG) de "F", si "V₁, ..., V_n" es L.I. podemos decir que es una base de "F".

Todas las bases de "F" constan del mismo número de elementos (misma dimensión).

Dado un espacio "F" de dimensión "r", podemos afirmar:

• Si hay más de "r" elementos ==> son L.D.
• Si hay "r" elementos ==> si son independientes (como máximo "r" elementos) <==> son generadores (como mínimo "r" elementos)

Ahora hablemos de la otra parte, "F" (la base):

"F" se describe de dos maneras:

 - Por generadores:

(ejemplo)

F = <(1, 2, 0, 1), (-2, 0, 3, 1), (-1, 2, 3, -2)>

Esta opción nos trae dos problemas:

• Es difícil extraer una base
• Es difícil extraer una serie de ecuaciones para "testear" la base

- Por ecuaciones:

F = {(x, y, z, t) | x – 2y = z; 2x + 4z = 3t}

Al usar este sistema, tenemos que tener en cuenta varias cosas:

1. Las ecuaciones no pueden ser cuadráticas (X²)
2. Las ecuaciones no pueden ser trigonométricas (sin/cos)
3. Las ecuaciones no pueden tener términos independientes (x + 1) => Todas las "F" pasan por el origen

Amén de dos problemas:

• Se tienen que "limpiar" las ecuaciones
• Problemas al encontrar una base

Para ello, tenemos el método para pasar de generadores a ecuaciones y viceversa.

- De ecuaciones a generadores

Por si no se lee del todo bien, explico los pasos:

 - Se toman los coeficientes de las ecuaciones y se monta una matriz, ampliando con los resultados
 - Triangulamos por la parte inferior, quedando dos zonas:
     * De la D.P a la izquierda: soluciones
     * De la D.P a la derecha: parámetros
 - Armamos unas nuevas ecuaciones con las soluciones y parámetros
 - Despejamos las soluciones en base a los parámetros
 - Usando los parámetros, creamos un vector que represente todas las soluciones en base a los parámetros.
 - Extraemos factor común donde se pueda
 - Para cada vector, hacemos una "versión" en el que un parámetro vale 1 y el resto 0
 - De la colección anterior obtenemos la base en vectores

De este ejemplo extraemos dos conclusiones:

 - Como tiene dos libertades (parámetros), podemos decir que tiene 2 dimensiones
 - Es un plano (2D) dentro de un espacio de cuatro dimensiones (las ecuaciones tenían cuatro incógnitas).

- De generadores a ecuaciones (doble ejemplo, esta vez)

Veamos el seguimiento de ambos ejemplos:

 - Dado un "F", lo agrupamos en una serie de ecuaciones lineales
 - De estas ecuaciones lineales podemos extraer una matriz (véase que no son más que los vectores "A", "B", y "C" transpuestos), ampliada con las incógnitas.
 - Triangulamos la parte inferior izquierda a la D.P, y obtenemos las ecuaciones transformadas.
 - Tomamos las igualadas a 0, ya que son las L.I, y listo.

Del primer ejemplo, podemos decir que es un plano dentro de un ámbito de cuatro dimensiones.

El segundo ejemplo es algo más rápido; y se puede ver en funcionamiento el primer procedimiento (de ecuación a generador).

Bien, y con esto decir que aquí acaba la segunda parte de los vectores de Rn. La próxima parte (quinta y última entrega del primer tema) seguiremos un poco más con los vectores de Rn, y veremos también el resto de tema.

Espero que os guste, y....

¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte I

Buenas!

Traemos una entrada "light", de domingo...

Dejo, como siempre, la zona de temario que veremos:

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

1.8. Vectores de Rn

  1.8.1. Tipos

Existen dos tipos de vectores de Rn (léase "R" como el conjunto de números reales).

 - Listas ordenadas: (x, y, z)
 - Listas desordenadas: {x, y, z}

Es posible encontrar vectores en ambas formas, aunque la más común es la primera (vectores ordenados, como los que casi siempre salen; una matriz 1x3 es un vector).

  1.8.2. Operaciones básicas

    1.8.2.1. Suma

La suma de vectores se hace tal como se hace la suma de determinantes. Componente a componente.

Si no recuerdas cómo se suman determinantes/matrices, aquí puedes verlo.

    1.8.2.2. Producto escalar

El producto escalar, definido como:

n(x, y, ..., z)

Se calcularía como:

(nx, ny, ..., nz)

  1.8.3. Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes (L.D) si y solo si (sii):

E a₁, …, a_n (no todos = 0) |S_i a_iv_i = 0

Por otra parte, son L.I. sii

S_i a_iv_i = 0 (todos a = 0)

Estos conceptos están relacionados con el rango. Definimos el rango con el siguiente ejemplo:

En "R" caben "n" vectores independientes. El rango del vector {v₁, …, v_n} es el número máximo entre ellos que son L.I.

  1.8.4. Subespacios de Rn

"F" es un subespacio de Rn sii "F" es un espacio vectorial y pasa por el origen, es decir (adjunto captura):

Dado un subespacio vectorial conocido, se conocen todas sus combinaciones lineales (anteriores propiedades).

Y bien, hasta aquí la entrada...

Se que los apuntes son algo liosos... pero están más liados aún en mis papeles... pero es solo al principio, luego todo se expone más claro.

En fin, poco a poco vamos avanzando. La próxima entrega sera un "break tecnológico", típico de cuando adquiero un nuevo gadget :-)

Saludos, y...

¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Matemáticas - Tema 1: Determinantes, rangos, inversas y parámetros

Buenas!

Otra entrada más volvemos a las matemáticas; esta vez veremos determinantes, rangos, inversas y el uso de parámetros.

Como dije, aquí el índice con lo que veremos:

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

4. Determinantes
  4.1. Explicación

Un determinante es un número, que puede ser expresado bien en forma de número, o bien en la forma de "operador" (así como, por ejemplo, "5" se puede representar como "5" o como "2+3").

El valor de un determinante representa el área de la suma de todos los vectores que lo conforman, determinando el signo de dicho valor en que dirección "giran" los vectores.

Dejo un escaneo de un ejemplo de mis apuntes:

 4.2. Determinantes de orden 3

Los determinantes de orden 3 se calculan mediante "Sarrus". Esto es:

"Sumatorio del productorio de la diagonal principal y paralelas menos el sumatorio del productorio de la invertida a la diagonal principal y sus paralelas".

Un ejemplo:

           1  2  3

    A=  4  5  6

           7  8  9

|A| = (1*5*9+4*8*3+2*6*7)-(3*5*7+2*4*1+6*8*9)=45+96+84-105-8-432=-320

  4.3. Determinantes de orden 4

Para resolver un determinante de orden 4, podemos aplicar una serie de "meta-propiedades" de los determinantes, que nos vienen a decir que si combinamos de manera lineal las filas o columnas de un determinante, el resultado no varía (lo mismo pasa con el orden de las mismas).

De esta manera, podemos combinarlas (matemáticas de bachillerato) para obtener una fila (la primera, preferentemente) que conste de un número (no 0) y el resto todo de 0.

El resultado de este determinante sería el resultado de multiplicar el resultado del determinante complementario (es decir, el determinante que queda si eliminamos del mismo la fila "i" y la columna "j", siendo el elemento aij) por dicho elemento. Es decir:

       a b c d

A = e f g h

       i j k l

       m n o p

Transformamos:

      a’ b’ c’ d’

A= 0 f’ g’ h’

      0 j’ k’ l’

      0 n’ o’ p’

|A| = a’B

      f’ g’ h’

B= j’ k’ l’

     n’ o’ p’

  4.4. Propiedades

Los determinantes tienen las siguientes propiedades:

- Si multiplicamos una fila por "n", el resultado se multiplica por "n".
- Si se intercambia una fila de sitio, el determinante cambia de signo.
- A una fila, sumada otra fila multiplicada por "n", el determinante no cambia.

Todas ellas son aplicables tanto a filas como a columnas.

  4.5. Representación geométrica de determinantes de orden 3

Como explicaba al principio, el determinante representa un área (o volumen e 3 dimensiones, volumen en 4 dimensiones, etc).

Dejo una representación geométrica de un determinante de orden 3:



















5. Rango

Definimos el rango como el número de filas/columnas linealmente independientes en un determinante.

Para obtener el número de filas/columnas linealmente independientes (L.I.) basta con triangular con 0 el determinante, y sobre la marcha veremos el rango del mismo.

6. Inversas

Para calcular inversas usaremos el método de las dos triangulaciones:

 - Triangulas por abajo con 0
 - Triangulas por arriba con 0
 - Conviertes en I

Todo esto partiendo de una matriz/determinante "doble". Adjunto proceso:

7. Uso de parámetros

El uso de parámetros en el estudio de rangos de matrices es bastante extenso. Para ello debemos aislar los casos "problemáticos" mediante el uso de las anteriores "meta-propiedades" mencionadas, pero teniendo en cuenta una regla especial:

- NO multiplicar (ni dividir) por parámetros NUNCA la fila sustituída.

Es decir:

2*fila1 + 1*fila2 => está bien
a*fila1 + 4*fila2 => está bien
23*fila1 + 2a*fila2 => MAL

Y con esto terminamos la entrada 2/5 del primer tema de matemáticas. La próxima entrada veremos hasta los subespacios de Rn.

Como siempre, saludos, y ¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Matmáticas - Tema 1: Matrices

Buenas!

Empezamos con las matemáticas, concretamente con el primer tema (matrices y vectores).

Este tema durará 5 entradas. En cada una os pondré el índice del tema y la parte que vamos a tratar de él.

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

1. Operaciones básicas:

  1.1. Suma

La suma de matrices se puede expresar como la suma de los elementos análogos de sendas matrices a sumar. Es decir, imaginad la siguiente suma:

(1 3 5) + (3 1 9)

Las de arriba son dos matrices de 1x3 (o 3x1... siempre me lío con esto! jajaja). El resultado lo podríamos definir como:

(1+3 3+1 5+9)

o lo que es lo mismo

(4 5 14)

  1.2. Resta

La resta de matrices se basa en el mismo método que la suma, pero en este caso se restarán los elementos correspondientes.

  1.3. Multiplicación

    a) Escalar

Multiplicar un escalar por una matriz equivale a multiplicar cada elemento de la matriz por dicho escalar. Es decir:

2*(1 3 5) = (2 6 10)

    b) Producto de matrices

La definición formal de la multiplicación de dos matrices, "A" y "B" es que dan como resultado una tercera matriz "C" cuyos elementos responden a la siguiente fórmula:

C_ij  = S a_ik b_kj

Siendo "k" el rango de todos los posibles valores de "A" o "B"

Pongamos un ejemplo:

A = 3 2 1

       4 5 7

       2 5 7

B = 3 8 4

       1 7 9

AB = C

C₂₃ = S a_2kb_k3 = 111 [(4*7+5*4+7*9)]

La matriz completa "C", sería:

       13   38    38

C = 30  109  111

2. Propiedades 

Existen cuatro propiedades básicas de las matrices:

a) n(A+B) = nA + nB [n = escalar; A, B = matrices]

b) (n+m)A = nA + mA [n, m = escalares; A = matriz]

c) A(B+C) = AB + AB [A, B, C = matrices]

d) IA = AI = I [A, I = matrices; I = matriz identidad]

Por otra parte, clarificando la última propiedad, hay una que no se "hereda" de la multiplicación: la propiedad conmutativa.

No es lo mismo AB que BA. Y esto se debe principalmente a dos cosas: la posible incompatibilidad de rangos y la posible alteración de rangos. Vamos a explicarlo:

a) Incompatibilidad:

Imaginad la matriz A, de dimensiones 4x7; por otra parte, la matriz B tiene dimensiones de 7x3.

Si efectuamos AB, obtendríamos una matriz de 4x3; si intentamos efectuar BA, nos encontramos con que no se puede (para efectuar una multiplicación, las dimensiones tienen que ser nxm, * mxo, cosa que no se cumple en este caso).

b) Alteración

¿Y si A es una matriz de 4x7 y B una de 7x4? Sería factible tanto AB como BA, pero si estudiamos el caso:

 - AB: resultado de una matriz 4x4 (4x7 * 7x4)

 - BA: resultado de una matriz 7x7 (7x4 * 4x7)

Ahí vemos como se alteran las dimensiones (y por tanto no pueden ser iguales).

Se entiende, por tanto, que no es lo mismo AB que BA, por lo que la propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices queda desestimada.

3. Otras operaciones

  3.1. Traza

La traza de una matriz responde a la siguiente fórmula:

TA = Sⁿ_k=1 a_kk [TA = Traza de A; a_kk = elemento (k, k) de A]

En otras palabras, consiste en sumar los elementos de la diagonal que corre de la esquina superior izquierda a la inferior derecha (conocida como diagonal principal), correspondiente a los índices donde i=j [(1, 1), (2, 2), (3, 3)...].

Para que una matriz pueda tener traza, ha de ser cuadrada (mismo número de filas que de columnas).

  3.2. Transpuestas

Transponer una matriz consiste en invertir el orden de todos sus elementos, de manera que:

C_ij = A_ji

Como ejemplo, podríamos tener:

       3 2 1

A = 4 5 7

         3 4

 A^t = 2 5

         1 7

  3.3.Simétricas 

Una matriz simétrica es aquella cuya transpuesta es la misma que la "original".

  3.4. Antisimétricas

Una matriz antisimétrica es aquella cuya transpuesta es equivalente a la negativa (no inversa) de la "original".

Su diagonal principal es 0.

Con esto finalizamos la primera entrega de este curso de matemáticas. Comentar que me había dejado el apartado de "Transpuestas" en el índice...

La próxima entrega veremos la segunda parte de este primer tema.

Saludos, y

¡Hasta la próxima!