Buenas!
Dejo, como anexo, una serie de derivadas que podéis usar cuando os sirvan (nunca está de más...)
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Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (fuciones de varias variables - ejemplos generales)
Buenas!
Ha sido tiempo sin escribir (creo)... como siempre, ando de culo!
En fin, se acerca el final de este segundo tema, con lo que se acerca también el inicio de la siguiente fase de la aplicación Remote Tools.
En esta entrada veremos varios ejemplos, que servirán para afianzar y repasar conceptos vistos con anterioridad.
Ha sido tiempo sin escribir (creo)... como siempre, ando de culo!
En fin, se acerca el final de este segundo tema, con lo que se acerca también el inicio de la siguiente fase de la aplicación Remote Tools.
En esta entrada veremos varios ejemplos, que servirán para afianzar y repasar conceptos vistos con anterioridad.
Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (derivadas segundas)
Buenas!
Llevaba algún tiempo sin escribir... y es que vuelvo a andar liado y hasta arriba!
La parte positiva es que me siento inusualmente activo... jejeje. Por otra parte, queda poco para acabar este tema matemático y volver a saco con COBOL.
En mis ratos libres hago mis pequeñas investigaciones con COBOL para adaptar los requerimientos de la app... también he tenido (recientemente) una revelación: ¿se podría, de alguna manera, tratar un sudoku como una matriz - o conjunto de ellas? en ello estoy, también.
En fin, dejémonos de divagaciones y vamos a las matemáticas.
Esta entrada tratará de segundas derivadas.
Definimos las derivadas segundas como una función lineal que transforma el espacio de R2 en R.
Podríamos aventurarnos a lanzar una primera ecuación correspondiente a una segunda derivada en una función de varias variables, a saber:
Llevaba algún tiempo sin escribir... y es que vuelvo a andar liado y hasta arriba!
La parte positiva es que me siento inusualmente activo... jejeje. Por otra parte, queda poco para acabar este tema matemático y volver a saco con COBOL.
En mis ratos libres hago mis pequeñas investigaciones con COBOL para adaptar los requerimientos de la app... también he tenido (recientemente) una revelación: ¿se podría, de alguna manera, tratar un sudoku como una matriz - o conjunto de ellas? en ello estoy, también.
En fin, dejémonos de divagaciones y vamos a las matemáticas.
Esta entrada tratará de segundas derivadas.
Definimos las derivadas segundas como una función lineal que transforma el espacio de R2 en R.
Podríamos aventurarnos a lanzar una primera ecuación correspondiente a una segunda derivada en una función de varias variables, a saber:
f(x,y) ≈ f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)
+ ½ [fxx(a,b)(x-a)2 + 2fxy(a,b)(y-b) + fyy(a,b)(y-b)2]
f(x,y) ≈ f(a,b) + grad(f(a,b)) * R1 + ½ * R2 * H * R1
donde (por ejemplo) fxx es la derivada parcial de "x" sobre la derivada parcial de "x"; es decir, se aplican varias derivadas parciales sucesivas, tomando como variable la variable indicada.
Por otra parte, R1, R2, y H son matrices, tales que:
R1 = x-a
y-b
R2 = (x-a y-b)
H = fxx fxy
fyx fyy
A "H" se le conoce como matriz Hessiana, y se suele denotar como "H(a,b)".
En el caso que nos atañe (funciones de dos variables), "H" es una matriz 2x2, y se dice que tiene dos valores propios (vaps): fxx y fyy (ya que fxy = fyx).
Veamos qué pasa con estos vaps:
- si det(H) = 0: alguno de los vaps. es 0
- si det(H) > 0: los dos vaps son mayores que 0, por tanto la función está por encima del plano "z"
- si (a+b) > 0: H(a,b) es simétrica, cuadrada, y se puede diagonalizar.
- si det(H) < 0: los dos vaps son menores que 0, por tanto la función está por debajo del plano "z"
- si (a+b) > 0: H(a,b) es simétrica, cuadrada y se puede diagonalizar.
En caso que sea 0, no nos reporta ninguna información útil (al parecer).
Veamos qué son los vaps. de H:
vaps(H(a,b)) = l1,
l2
l1 * l2
l1 + l2
veamos un ejemplo en el que se aplique todos estos conceptos:
f(x,y) = x2 + y/3 + xy2
Derivada segunda en el punto (7,2)
f(7,2) = 49 + 2/3 + 7*4 = 233/3
fx = 2x + y2 => en (7,2) = 18
fy = 1/3 + 2xy => en (7,2) = 85/3
fxx = 2
fxy = fyx = 2x
fyy = -2y
aplicamos fórmulas:
z = 233/3 + 18(x-7) + 85/3(y-2)
H(a,b) = 2
2y
2y 2x
H(7,2) = 2
4
4 14
det(H(7,2)) = 12
2 + 14 = 16
_____________
vaps > 0
Plano tangente:
Z = z + ½(2(x-7)2 + 2*4(x-7)(y-2) + 14(y-2)2)
Visto el ejemplo, pasemos a un inciso en las derivadas segundas: extremos relativos.
Para obtener los extremos relativos de una función de dos variables debe cumplirse lo siguiente:
fx = 0
fy = 0
Entonces, usando las fórmulas anteriores, obtendremos varios "juegos" de puntos. Basándose en los vaps de H(a,b), podemos saber qué tipo de extremo relativo estamos tratando:
- si los dos vaps > 0: mínimo
- si los dos vaps < 0: máximo
- si un vap > 0 y otro vap < 0: intersección (hacia un eje es mínimo, hacia otro es máximo)
- si algún vap = 0: no aporta información
Para obtener esto puntos, debemos ejecutar lo siguiente:
- Obtenemos "fx" y "fy"
- Obtenemos "fxx", "fxy", "fyy"
- Igualamos "fx" y "fy" a 0, creando un sistema de ecuaciones
- Resolvemos el sistema de ecuaciones
- Para cada juego de soluciones, aplicamos H(a,b)
Y bien, con esto acabamos la cuarta entrega del segundo tema... las dos próximas serán cortas (ejemplos y utilidades).
Os dejo, y como siempre, ¡Hasta la próxima!
Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (Curvas de nivel, gradientes, etc)
Buenas!
Volvemos de nuevo con las matemáticas. Esta entrada tratará sobre curvas de nivel, gradientes, derivadas de una función en un punto... vamos por partes:
Curvas de nivel:
Cuando hablamos de las curvas de nivel de una función de dos (o varias) variables, solemos hacerlo como "la curva de nivel con z=k" (donde k es un número entero).
Esta curva de nivel es una función lineal que transforma (en el caso de las funciones de dos variables) un espacio de R2 en un espacio de R.
¿Y en qué consiste? En hallar todos los puntos de f(x,y) en los que ésta valga "k"; dicho de manera resumida:
f(x,y) = k
Veamos, como siempre, un ejemplo:
f(x,y) = 4 – x2 – 2y2
Si queremos encontrar la curva de nivel de esta función con "k=0", tendríamos:
Volvemos de nuevo con las matemáticas. Esta entrada tratará sobre curvas de nivel, gradientes, derivadas de una función en un punto... vamos por partes:
Curvas de nivel:
Cuando hablamos de las curvas de nivel de una función de dos (o varias) variables, solemos hacerlo como "la curva de nivel con z=k" (donde k es un número entero).
Esta curva de nivel es una función lineal que transforma (en el caso de las funciones de dos variables) un espacio de R2 en un espacio de R.
¿Y en qué consiste? En hallar todos los puntos de f(x,y) en los que ésta valga "k"; dicho de manera resumida:
f(x,y) = k
Veamos, como siempre, un ejemplo:
f(x,y) = 4 – x2 – 2y2
Si queremos encontrar la curva de nivel de esta función con "k=0", tendríamos:
4 – x2 – 2y2 = 0;
x2 + 2y2 = 4
Y esto, como se puede ver, es una elipse con centro (0, 0) y radio sqrt(2)
Para la misma función, la curva de nivel con "k=2", sería:
4 – x2 – 2y2 = 2;
x2 + 2y2 = 2
Si hacemos varias curvas de nivel (k=0, k=1, k=2...), obtendríamos un conjunto de elipses concéntricas, con centro en (0, 0).
Es decir:
4 – x2 – 2y2 = k;
x2 + 2y2 = 4 - k;
Existe si 4 - k >= 0 (si k <= 0)
Obtenemos una elipse con centro (0, 0) y radio [(±sqrt(4 - k), 0), (0, ±sqrt((4 - k) / 2))]
Bien, ahora que ya sabemos cómo hacer curvas de nivel, es hora de pasar a las derivadas en un punto.
Derivadas de una función de varias variables en un punto
Definimos la derivada de una función de varias variables en un punto como el límite de un cociente incremental.
Para resolver este tipo de derivadas, suele ser necesario el uso de derivadas parciales.
¿Qué es una derivada parcial? Es asumir una variable como tal, y el resto como constantes. Teniendo esta cláusula asumida, procedemos a hacer la derivada de la función como tal, aplicando más tarde (si lo hubiera) el conjunto de valores dados en la derivada.
Vamos a verlo mejor con un ejemplo:
Partimos de una función:
f(x,y) = x2y – 3x + e2y
Y queremos obtener la derivada de esta función en el punto (2, -3). Así, procedemos a hacer las derivadas parciales de "x" e "y".
df/dx = 2xy – 3 + 0
df/dy = x2 + 0 + 2e2y
Comprobamos como, mediante las reglas básicas de derivación podemos obtener estas expresiones.
Ahora no queda más que aplicar los valores dados en el enunciado, y obtenemos un vector (x, y) tal que:
f'(x, y) (2, -3) = (-15, 4,005)
A este vector se le llama "gradiente". Vamos a ello:
Gradientes:
Veamos algunas de sus propiedades:
- La dirección y el sentido de derivada direccional máxima es cuando el vector (v1, v2) es el gradiente. Este pendiente máximo (derivada direccional) vale la longitud del gradiente (ya que cos = 1)
- La dirección y el sentido de derivada direccional mínima es cuando el vector (v1, v2) es la inversa del gradiente (ya que cos = -1)
- Si el vector (v1, v2) es perpendicular al gradiente de la función en (a, b), la derivada en el punto (a, b) de f(v1, v2) es 0.
Ahora, veamos qué pasa si los combinamos con las curvas de nivel:
Si las líneas de la curva de nivel de una función están juntas entre si, significa que, a poca variación de "x", hay mucha variación de "y", y, por tanto, el gradiente de f(x,y) es más grande.
Suponiendo que el punto (x, y) está cerca de (a, b):
f(x,y) ≈ f(a,b) + (x – a)*(df/dx) + (y – b)*(df/dy) ≈ f(a,b)
+ (x – a, y – b) * grad(f(a,b))
Y definimos el plano tangente "Z" como:
Z = f(a,b) + (x – a,
y – b) * grad(f(a,b))
(a ≈ x, b ≈
y)
Si el plano "Z" es nulo ("Z" = 0), nos encontramos ante un punto de inflexión:
- Máximo
- Mínimo
- Max/Min
La utilidad de esto lo veremos en la próxima entrada, dedicada íntegramente a derivadas dobles.
Así, el planning queda así:
Parte IV: derivadas dobles
Parte V: ejemplos
Parte VI (anexo): utilidades y tabla de derivadas inmediatas
Como siempre, ¡Hasta la próxima!
Mundo exterior: Matemáticas - Tema II (Representación de funciones con dos variables)
Buenas!
Seguimos con las "mates"; pero antes, un pequeño inciso (como viene siendo costumbre últimamente).
Ya le he dado uso a mi disco duro externo: he colocado todas las distro que uso, he usado y (en un futuro) usaré. Dejo la lista:
b) Se divide en dos:
Seguimos con las "mates"; pero antes, un pequeño inciso (como viene siendo costumbre últimamente).
Ya le he dado uso a mi disco duro externo: he colocado todas las distro que uso, he usado y (en un futuro) usaré. Dejo la lista:
- Hiren's Boot 15
- WifiWay 3.4
- AVG Rescue CD
- Dr.Web Live CD
- Kaspersky Rescue Disk
- BackTrak 5
- Ophcrack XP
- Ophcrack Vista/7
- Partition wizard
- Linux Mint Mate x86
- Helix3 R1
Y, aparte, tengo destinado un futuro emplazamiento para mis tablas rainbow y demás (capturas de tráfico, informes...) jejeje.
En fin, sigamos con las matemáticas: en esta entrada veremos la representación de funciones de dos variables.
Para ello, distinguiremos dos tipos de funciones:
- Cónicas
- No cónicas
Empecemos con el primer tipo:
Cónicas:
Las funciones cónicas tienen la siguiente forma:
f(x, y) = Ax2
+ By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
El término "Cxy" determina la orientación de la función: si "C" vale 0, los ejes de la cónica serán rectos.
No cónicas:
A riesgo de parecer muy obvio, si no cumple la forma anterior, no es cónica...
De momento, pasaremos a otro punto importante, para luego retomar la identificación de las cónicas. Hablemos ahora de los dominios de las funciones.
El dominio de una función de dos variables es una función tal que convierte el espacio R2 en R. En esta "transformación", tenemos que evaluar (pues pueden resultar conflictivos) una serie de casos, a saber:
- A / B => si B = 0
- √A => si A < 0
- Ln(A) => si a <= 0
- arcsin(A) => si |A| >= 1
Como vemos, son casos problemáticos, pues producen "fallo" en los cálculos. Así, el análisis de dominio de una función se basará en estos puntos. Vamos con un ejemplo:
f(x, y) = sqrt((x2
– y2 + 4) / ((x – 1)2 + y2 – 9)) (sqrt() = raíz cuadrada)
He coloreado los paréntesis para que se puedan distinguir fácilmente. Veamos qué casos son "peligrosos" para la evaluación de esta función:
a) ((x – 1)2 + y2 – 9) = 0
b) (x2 – y2 + 4) / ((x – 1)2 + y2 – 9) < 0
Vamos a justificar ambos casos:
- Si la expresión "a" se cumple, se haría una división por 0, por lo que de la raíz cuadrada ni hablamos.
- Si la expresión "b" se cumple, no podemos hacer la raíz cuadrada (al menos dentro del cuerpo de los reales, que es donde trabajamos)
El procedimiento para evaluar estas anomalías creo que será conocido: miramos qué condiciones hay que cumplir para que pase:
a) ((x – 1)2 + y2) = 9
Si se cumple esto, tendríamos un problema. Vemos que la función de arriba define una circunferencia caracterizada por los siguientes datos:
* Origen: (-1, 0)
* Radio: 3 (sqrt(9))
Para los que no sepáis de donde viene esto, un inciso: la función que define una circunferencia es la siguiente:
f(x, y) = (x+a)^2 + (y+b)^2 = c
De aquí obtenemos:
* Origen: (a, b)
* Radio: sqrt(c)
De aquí obtenemos:
* Origen: (a, b)
* Radio: sqrt(c)
b) Se divide en dos:
b1) ((x – 1)2 + y2) = 9 (ya resuelta)
b2) (x2 – y2) = -4 => ±sqrt(x2
+ 4) = y => y = ±(x+2)
La solución de "b2" es una fórmula de circunferencia, pero con "c" negativo (por lo que es, en realidad, una parábola doble).
Para no abusar tanto del escaneo de apuntes, voy a echar mano de mi amigo "Corel" para ilustrar un poco el panorama:
Si representamos ambas soluciones, quedan delimitadas 7 zonas, marcadas arriba. Del mismo modo que en la entrada anterior, comprobamos el signo de las ecuaciones "a" y "b" y calculamos su "total".
En este caso, nos interesan las zonas que sean mayores que 0 (positivas), ya que a fin de cuentas tendremos que hacer una raíz cuadrada.
Diríamos, en este caso, que la función solo tiene dominio en las zonas 2, 3, 5, y 6.
Una vez visto un ejemplo de aplicación de dominio, volvamos a las cónicas.
Identificación de cónicas:
f(x, y) = Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (suponemos "C" = 0)
Pongamos un ejemplo:
Una vez visto un ejemplo de aplicación de dominio, volvamos a las cónicas.
Identificación de cónicas:
f(x, y) = Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (suponemos "C" = 0)
Pongamos un ejemplo:
4x2 – y2 + 3x + 2y – 25 = 0
(2x + ¾)2 – 9/4 – (y2 – 2y) – 25 = 0
(2x + ¾)2 – 9/4 – [(y – 1)2 - 1] – 25 =
0
(2x + ¾)2 – (y – 1)2 = 105/4
Vamos a explicar un poco cómo llegamos a la forma de abajo (antes os comentaba que era la función que define una circunferencia).
Paso 1: Tenemos la ecuación tal cual
Paso 2: Agrupamos los términos con "x" (marcados en rojo), y factorizamos. Agrupamos también los términos con "y" (marcados de azul verdoso)
Paso 3: nos valemos de la siguiente expresión inmediata para ejercer el cambio sobre los términos "y":
(ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2
Ya que se cumple, podemos sustituir.
Paso 4: Despejamos para dejar en forma de "circunferencia".
Ahora bien, una vez tenemos nuestra ecuación "arreglada", tenemos que ver varias cosas:
Si sig("A") != sig("B") => hipérbola
Si sig("A") = sig("B") => elipse o circunferencia (puede ser imaginaria)
"sig()" es una función que obtiene el signo del coeficiente especificado.
Si tenemos una circunferencia es fácil dibujarla (buscamos el centro y usamos el radio); si es una hipérbola, una elipse, o en general, procedemos así:
- Buscamos el centro
- Buscamos los puntos "x" e "y" en el centro
- Dibujamos los puntos
Vamos por partes, con una versión un poco diferente al ejemplo anterior ((2x + ¾)2 + (y – 1)2 = 105/4):
Obtener el centro:
Para ello, tomamos parte de la ecuación (la correspondiente a cada variable, sin cuadrado) y la igualamos a 0, tal que:
2x + 3/4 = 0 => x = -3/8
y - 1 = 0 => y = 1
Obtenemos nuestro punto (-3/8, 1), que es el centro.
Puntos "x" e "y" en el centro
Usando los valores del centro, resolvemos la ecuación correspondiente a la variable contraria, usando el cuadrado, tal que:
(para x = -3/8): (y - 1)2 = 105/4; y = 1±sqrt(105/4)
(para y = 1): (2x + 3/4)2 = 105/4; x = (±sqrt(105/4) - 3/4)/2
y obtenemos estas dos expresiones:
x = (±sqrt(105/4) - 3/4)/2
y = 1±sqrt(105/4)
Que usaríamos para dibujar (en este caso) nuestra elipse.
En el caso anterior (con los términos restando) obtenemos que en "y" no hay punto aplicable (ya que queda "y = 1±sqrt(-105/4)", y no hay solución real para ello), y "x" queda igual.
Con esto acabamos por esta vez. La próxima entrada tratará de curvas de nivel, gradientes y demás cosas similares (mis apuntes tienen una estructura un poco caótica... jejeje).
Como siempre, ¡Nos vemos!
Mundo exterior: Matemáticas - Tema II (Inecuaciones)
Buenas!
Llevaba tiempo sin escribir... en parte es "buena señal", ya que eso indica que hay algunos cambios.
Y sobre eso hablaremos antes de meternos de lleno en las matemáticas (funciones de diversas variables).
Siendo concretos, hay dos temas a comentar:
a) Un par de cambios
b) Un nuevo hilo "bloguero" a raíz de los cambios anteriores.
a) Ayer (jueves 25/abril) se celebró en mi ciudad el campeonato local de Robocode. Para el que no conozca este proyecto, lo explico brevemente:
Tomas un código fuente JAVA (también está la versión en C, que aún no he probado), y con él programas un tanque (robot). Esta programación no se basa en eventos interactivos (es decir, no lo tripulas, simplemente lo "sueltas" en el campo de batalla), sino en eventos a tiempo real. Principalmente hay cuatro interacciones que hacen saltar estos eventos:
- El tanque choca contra una pared
- El tanque choca contra otro tanque
- El tanque es golpeado por una bala
- El tanque detecta otro tanque
En base a estos eventos podemos "decirle" al tanque que haga ciertas cosas, como, por ejemplo:
"Cuando detectes otro tanque, dispara".
Obviamente, en JAVA, usando la API de Robocode.
Pues bien, me presenté, así como en la anterior edición (en la que gané en el sector individual), y este año si bien no rasqué nada en individual sí que quedé subcampeón en la modalidad de equipos (un grupo de 5 tanques programados por una persona).
Y me llevé como premio un disco duro externo WD passport de 2tb con conexión USB 3.0
De momento su uso está siendo pensado, ya que en casa tengo otro disco externo de 2tb...
b) Dejaré en la lista de hilos un tema dedicado a mi próxima creación para el próximo campeonato de Robocode.
Es decir, documentaré desde el inicio de la idea (ya en mi cabeza) hasta las clases JAVA que use.
Y bien, vayamos ahora a las matemáticas!
Entramos en el tema II, funciones de diversas variables.
En esta entrada veremos (de momento) las inecuaciones, a modo de introducción.
Antes de entrar en temario, vamos a definir formalmente una función:
f: Rn à Rm
Es decir, toman un espacio de Rn (véase tema anterior) y lo adaptan a Rm. Ni "n" ni "m" tienen por que ser iguales o siquiera guardar un orden específico.
Ahora si, vayamos a las inecuaciones.
¿Qué es una inecuación?
Es una desigualdad que marca una relación entre valores conocidos y valores desconocidos. Un ejemplo:
2x - 4 > (2/3) - 7x
Vamos a resolverla:
[Pasamos -7x de un lado al otro como +7x, mientras que -4 lo pasamos como +12/3 a la otra parte]
9x > 14/3
x > 14/27
Como se puede apreciar, no es más que un poco de sentido común y aplicar las reglas de las ecuaciones. Amén de tener en cuenta una serie de cosas:
Llevaba tiempo sin escribir... en parte es "buena señal", ya que eso indica que hay algunos cambios.
Y sobre eso hablaremos antes de meternos de lleno en las matemáticas (funciones de diversas variables).
Siendo concretos, hay dos temas a comentar:
a) Un par de cambios
b) Un nuevo hilo "bloguero" a raíz de los cambios anteriores.
a) Ayer (jueves 25/abril) se celebró en mi ciudad el campeonato local de Robocode. Para el que no conozca este proyecto, lo explico brevemente:
Tomas un código fuente JAVA (también está la versión en C, que aún no he probado), y con él programas un tanque (robot). Esta programación no se basa en eventos interactivos (es decir, no lo tripulas, simplemente lo "sueltas" en el campo de batalla), sino en eventos a tiempo real. Principalmente hay cuatro interacciones que hacen saltar estos eventos:
- El tanque choca contra una pared
- El tanque choca contra otro tanque
- El tanque es golpeado por una bala
- El tanque detecta otro tanque
En base a estos eventos podemos "decirle" al tanque que haga ciertas cosas, como, por ejemplo:
"Cuando detectes otro tanque, dispara".
Obviamente, en JAVA, usando la API de Robocode.
Pues bien, me presenté, así como en la anterior edición (en la que gané en el sector individual), y este año si bien no rasqué nada en individual sí que quedé subcampeón en la modalidad de equipos (un grupo de 5 tanques programados por una persona).
Y me llevé como premio un disco duro externo WD passport de 2tb con conexión USB 3.0
De momento su uso está siendo pensado, ya que en casa tengo otro disco externo de 2tb...
b) Dejaré en la lista de hilos un tema dedicado a mi próxima creación para el próximo campeonato de Robocode.
Es decir, documentaré desde el inicio de la idea (ya en mi cabeza) hasta las clases JAVA que use.
Y bien, vayamos ahora a las matemáticas!
Entramos en el tema II, funciones de diversas variables.
En esta entrada veremos (de momento) las inecuaciones, a modo de introducción.
Antes de entrar en temario, vamos a definir formalmente una función:
f: Rn à Rm
Es decir, toman un espacio de Rn (véase tema anterior) y lo adaptan a Rm. Ni "n" ni "m" tienen por que ser iguales o siquiera guardar un orden específico.
Ahora si, vayamos a las inecuaciones.
¿Qué es una inecuación?
Es una desigualdad que marca una relación entre valores conocidos y valores desconocidos. Un ejemplo:
2x - 4 > (2/3) - 7x
Vamos a resolverla:
[Pasamos -7x de un lado al otro como +7x, mientras que -4 lo pasamos como +12/3 a la otra parte]
9x > 14/3
x > 14/27
Como se puede apreciar, no es más que un poco de sentido común y aplicar las reglas de las ecuaciones. Amén de tener en cuenta una serie de cosas:
- No simplificar ninguna variable
- No multiplicar por "X" (o "Y", o ...)
- No dividir por "X" (...)
- Mantener las proporciones (hemos de tener en cuenta que al ser inecuaciones, hemos de vigilar que se mantenga la desigualdad)
La inecuación que hemos visto antes era una simple (1º grado). Vamos ahora con las inecuaciones de 2º grado:
x2 + x >2
x2 + x – 2 > 0
x2 + x – 2 = 0
x = 1; x = -2
Expliquemos:
Primero "inigualamos" a 0. Una vez hecho, lo pasamos a una ecuación de 2º grado normal, y calculamos los valores de X. De ahí obtendremos lo que llamaremos "puntos de corte". Lo podemos representar así:
Vemos tres zonas: rojo, azul, y verde. La primera y la tercera toman valores positivos (>0), y ya que lo que buscamos es una x tal que sea positiva, podemos concluir que la solución a la inecuación es el conjunto:
(-∞, -2)U(1, +∞)
Con este concepto claro, vayamos ahora un paso más allá: inecuaciones racionales. Como antes, un ejemplo que lo ilustre:
(x2
+ x) / (x + 3) >= 2
((x2
+ x) / (x + 3)) – 2 >= 0
(x2
- x - 6) / (x + 3) >= 0
a) x2
- x – 6 = 0
x = 3;x = -2
b) x+ 3 = 0
x = -3
Expliquemos:
Dejamos "desigualado" a 0 (como antes). Una vez hecho, intentamos simplificar (en este caso, hemos "subido" el 2 multiplicado por "x+3" y lo hemos sumado al numerador). Ahora solo nos falta igualar tanto el numerador como el denominador a 0; esto nos dará dos ecuaciones que podemos calcular, obteniendo dos juegos de soluciones ("a" y "b").
De nuevo, tenemos más puntos de corte. En este caso, algo así:
Vamos a explicar esta confusión de números, colores y líneas:
La franja de arriba corresponde a la ecuación del numerador; la de arriba al denominador. En ambas están marcados los cambios de signos. A saber:
Numerador: Rojo > 0, azul < 0, violeta > 0
Denominador: Naranja < 0, verde > 0
Las líneas grises que cruzan ambas zonas son las soluciones anteriores (-3, -2, y 3). Esto crea cuatro zonas "comunes", que serán sobre las que calcularemos la solución.
Para saber el signo de estas zonas, tenemos que "sumar" (usando la ley de los signos) los resultados obtenidos en las zonas de cada ecuación.
Ya que la primera zona (la de más a la izquierda) es "positivo + negativo", obtenemos "negativo". Vamos haciendo para las cuatro zonas.
Así, ya que buscamos un "x >= 0", podemos concluir que la solución es:
(-3, -2] U [3, ∞)
A continuación, quedan dos pasos de dificultad, que veremos a la vez (escaneado de mis viejos apuntes):
- Inecuaciones don dos variables
- Inecuaciones de 2º grado con dos variables
El procedimiento para resolver ambas es similar al anterior:
"Desigualamos" a 0, pasamos a ecuación normal, despejamos "y", y usamos el resultado como una función (f(x)). Seguidamente representamos la función, la cual nos delimita las zonas (así como antes eran líneas, ahora son funciones). Basta con tomar vectores (a, b) estratégicamente para saber el signo de las zonas, para obtener la zona que nos pida la inecuación.
Y con esto tenemos cubierta la primera parte del tema II.
Como siempre, ¡Hasta la próxima!
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