Mundo exterior: Matemáticas - Tema I: Operaciones con vectores de Rn

Buenas!

Empezamos la última entrega del apasionante mundo de los vectores. Tras esta entrada haremos una pequeña serie de entradas informáticas, con un cierto regusto a estadística mezclado con criptografía, y (seguramente) aplicaciones Android...

¿¡A que suena emocionante!?

Pero no nos adelantemos...

Como siempre, dejo el índice de este primer tema.

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

8.6. Otras operaciones

Veamos,  primero, como definimos el producto escalar de dos vectores:

(X₁, …, X_n)*(Y₁, …, Y_n) = S_iX_iY_i

  8.6.1. Norma euclidiana

Definimos el resultado de la norma euclidiana del vecto "V" como la raíz cuadrada de su cuadrado escalar, es decir:

V = (X₁, …, X_n);

||V|| = (V²)^-1 = (V*V)^-1 = (S_iX_iX_i)^-1 

  8.6.2. Producto de vectores

El producto de vectores se basa en la norma euclidiana, usando, en vez de "V", "U" y "V".
Para normalizar las direcciones de los vectores, usamos un factor, en este caso el coseno que forman los vectores.

Es decir, el producto escalar de vectores es la multiplicación de:

 - ||U||
 - ||V||
 - cos(U, V)

Explicado de manera concisa, es:

V = (X₁, …, X_n);
U = (Y₁, …, Y_n);

UV = ||U|| * ||V|| * cos(U, V) = (S_iX_iX_i + SiYiYi)^-1 * cos(U,V)

A sabiendas de esto, si U es perpendicular a V, el resultado será 0.

  8.6.3 Producto vectorial (Restringido a R3)

Para hallar el producto vectorial de dos vectores en R3, nos ayudamos de las matrices. Ejecutamos lo siguiente:

De esta operación, podemos extraer varias conclusiones:

• El producto es un vector perpendicular a los vectores dados
• Valdrá 0 si "U" y "V" son L.D.
• Tienen orientación positiva respecto "U" y "Y" (ley de la mano derecha)
• ||U^V|| = ||U|| * ||V|| * |sin(U,V)|
• Esta operación se extrapola para operar con planos

9. Sistemas de ecuaciones lineales

  9.1. Tipos

Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales:

• Incompatibles: 0 soluciones
• Compatibles determinados: 1 solución
• Compatibles indeterminado: infinitas soluciones

Esto es todo de este primer tema.

En la próxima entrada haremos un preámbulo para la nueva serie de entradas. De momento no se cuánto durará la nueva serie de entradas... a ver si para la próxima entrada lo puedo tener concretado.

Un saludo, y...

¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte II

Buenas!

Esta entrada vuelve a tratar sobre el mundo exterior... para tratar de nuevo el tema de los vectores de Rn.

Por otra parte, mis proyectos siguen trayectorias diferentes a lo que realmente me gustaría, pero así es la vida y poco se puede hacer con las cosas que son como son...

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

8.5. Familiar generadoras y bases

Definimos una familia generadora "V₁, ..., V_n" de la siguiente forma:

"V₁, ..., V_n" es una familia generadora de "F" sii para cualquier elemento perteneciente a "F" éste es una combinación lineal de "V₁, ..., V_n".

Es decir, si "F" es la colección de combinaciones lineales de "V₁, ..., V_n"

Dado un "V₁, ..., V_n" que es familia generadora (FG) de "F", si "V₁, ..., V_n" es L.I. podemos decir que es una base de "F".

Todas las bases de "F" constan del mismo número de elementos (misma dimensión).

Dado un espacio "F" de dimensión "r", podemos afirmar:

• Si hay más de "r" elementos ==> son L.D.
• Si hay "r" elementos ==> si son independientes (como máximo "r" elementos) <==> son generadores (como mínimo "r" elementos)

Ahora hablemos de la otra parte, "F" (la base):

"F" se describe de dos maneras:

 - Por generadores:

(ejemplo)

F = <(1, 2, 0, 1), (-2, 0, 3, 1), (-1, 2, 3, -2)>

Esta opción nos trae dos problemas:

• Es difícil extraer una base
• Es difícil extraer una serie de ecuaciones para "testear" la base

- Por ecuaciones:

F = {(x, y, z, t) | x – 2y = z; 2x + 4z = 3t}

Al usar este sistema, tenemos que tener en cuenta varias cosas:

1. Las ecuaciones no pueden ser cuadráticas (X²)
2. Las ecuaciones no pueden ser trigonométricas (sin/cos)
3. Las ecuaciones no pueden tener términos independientes (x + 1) => Todas las "F" pasan por el origen

Amén de dos problemas:

• Se tienen que "limpiar" las ecuaciones
• Problemas al encontrar una base

Para ello, tenemos el método para pasar de generadores a ecuaciones y viceversa.

- De ecuaciones a generadores

Por si no se lee del todo bien, explico los pasos:

 - Se toman los coeficientes de las ecuaciones y se monta una matriz, ampliando con los resultados
 - Triangulamos por la parte inferior, quedando dos zonas:
     * De la D.P a la izquierda: soluciones
     * De la D.P a la derecha: parámetros
 - Armamos unas nuevas ecuaciones con las soluciones y parámetros
 - Despejamos las soluciones en base a los parámetros
 - Usando los parámetros, creamos un vector que represente todas las soluciones en base a los parámetros.
 - Extraemos factor común donde se pueda
 - Para cada vector, hacemos una "versión" en el que un parámetro vale 1 y el resto 0
 - De la colección anterior obtenemos la base en vectores

De este ejemplo extraemos dos conclusiones:

 - Como tiene dos libertades (parámetros), podemos decir que tiene 2 dimensiones
 - Es un plano (2D) dentro de un espacio de cuatro dimensiones (las ecuaciones tenían cuatro incógnitas).

- De generadores a ecuaciones (doble ejemplo, esta vez)

Veamos el seguimiento de ambos ejemplos:

 - Dado un "F", lo agrupamos en una serie de ecuaciones lineales
 - De estas ecuaciones lineales podemos extraer una matriz (véase que no son más que los vectores "A", "B", y "C" transpuestos), ampliada con las incógnitas.
 - Triangulamos la parte inferior izquierda a la D.P, y obtenemos las ecuaciones transformadas.
 - Tomamos las igualadas a 0, ya que son las L.I, y listo.

Del primer ejemplo, podemos decir que es un plano dentro de un ámbito de cuatro dimensiones.

El segundo ejemplo es algo más rápido; y se puede ver en funcionamiento el primer procedimiento (de ecuación a generador).

Bien, y con esto decir que aquí acaba la segunda parte de los vectores de Rn. La próxima parte (quinta y última entrega del primer tema) seguiremos un poco más con los vectores de Rn, y veremos también el resto de tema.

Espero que os guste, y....

¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte I

Buenas!

Traemos una entrada "light", de domingo...

Dejo, como siempre, la zona de temario que veremos:

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

1.8. Vectores de Rn

  1.8.1. Tipos

Existen dos tipos de vectores de Rn (léase "R" como el conjunto de números reales).

 - Listas ordenadas: (x, y, z)
 - Listas desordenadas: {x, y, z}

Es posible encontrar vectores en ambas formas, aunque la más común es la primera (vectores ordenados, como los que casi siempre salen; una matriz 1x3 es un vector).

  1.8.2. Operaciones básicas

    1.8.2.1. Suma

La suma de vectores se hace tal como se hace la suma de determinantes. Componente a componente.

Si no recuerdas cómo se suman determinantes/matrices, aquí puedes verlo.

    1.8.2.2. Producto escalar

El producto escalar, definido como:

n(x, y, ..., z)

Se calcularía como:

(nx, ny, ..., nz)

  1.8.3. Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes (L.D) si y solo si (sii):

E a₁, …, a_n (no todos = 0) |S_i a_iv_i = 0

Por otra parte, son L.I. sii

S_i a_iv_i = 0 (todos a = 0)

Estos conceptos están relacionados con el rango. Definimos el rango con el siguiente ejemplo:

En "R" caben "n" vectores independientes. El rango del vector {v₁, …, v_n} es el número máximo entre ellos que son L.I.

  1.8.4. Subespacios de Rn

"F" es un subespacio de Rn sii "F" es un espacio vectorial y pasa por el origen, es decir (adjunto captura):

Dado un subespacio vectorial conocido, se conocen todas sus combinaciones lineales (anteriores propiedades).

Y bien, hasta aquí la entrada...

Se que los apuntes son algo liosos... pero están más liados aún en mis papeles... pero es solo al principio, luego todo se expone más claro.

En fin, poco a poco vamos avanzando. La próxima entrega sera un "break tecnológico", típico de cuando adquiero un nuevo gadget :-)

Saludos, y...

¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Matemáticas - Tema 1: Determinantes, rangos, inversas y parámetros

Buenas!

Otra entrada más volvemos a las matemáticas; esta vez veremos determinantes, rangos, inversas y el uso de parámetros.

Como dije, aquí el índice con lo que veremos:

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

4. Determinantes
  4.1. Explicación

Un determinante es un número, que puede ser expresado bien en forma de número, o bien en la forma de "operador" (así como, por ejemplo, "5" se puede representar como "5" o como "2+3").

El valor de un determinante representa el área de la suma de todos los vectores que lo conforman, determinando el signo de dicho valor en que dirección "giran" los vectores.

Dejo un escaneo de un ejemplo de mis apuntes:

 4.2. Determinantes de orden 3

Los determinantes de orden 3 se calculan mediante "Sarrus". Esto es:

"Sumatorio del productorio de la diagonal principal y paralelas menos el sumatorio del productorio de la invertida a la diagonal principal y sus paralelas".

Un ejemplo:

           1  2  3

    A=  4  5  6

           7  8  9

|A| = (1*5*9+4*8*3+2*6*7)-(3*5*7+2*4*1+6*8*9)=45+96+84-105-8-432=-320

  4.3. Determinantes de orden 4

Para resolver un determinante de orden 4, podemos aplicar una serie de "meta-propiedades" de los determinantes, que nos vienen a decir que si combinamos de manera lineal las filas o columnas de un determinante, el resultado no varía (lo mismo pasa con el orden de las mismas).

De esta manera, podemos combinarlas (matemáticas de bachillerato) para obtener una fila (la primera, preferentemente) que conste de un número (no 0) y el resto todo de 0.

El resultado de este determinante sería el resultado de multiplicar el resultado del determinante complementario (es decir, el determinante que queda si eliminamos del mismo la fila "i" y la columna "j", siendo el elemento aij) por dicho elemento. Es decir:

       a b c d

A = e f g h

       i j k l

       m n o p

Transformamos:

      a’ b’ c’ d’

A= 0 f’ g’ h’

      0 j’ k’ l’

      0 n’ o’ p’

|A| = a’B

      f’ g’ h’

B= j’ k’ l’

     n’ o’ p’

  4.4. Propiedades

Los determinantes tienen las siguientes propiedades:

- Si multiplicamos una fila por "n", el resultado se multiplica por "n".
- Si se intercambia una fila de sitio, el determinante cambia de signo.
- A una fila, sumada otra fila multiplicada por "n", el determinante no cambia.

Todas ellas son aplicables tanto a filas como a columnas.

  4.5. Representación geométrica de determinantes de orden 3

Como explicaba al principio, el determinante representa un área (o volumen e 3 dimensiones, volumen en 4 dimensiones, etc).

Dejo una representación geométrica de un determinante de orden 3:



















5. Rango

Definimos el rango como el número de filas/columnas linealmente independientes en un determinante.

Para obtener el número de filas/columnas linealmente independientes (L.I.) basta con triangular con 0 el determinante, y sobre la marcha veremos el rango del mismo.

6. Inversas

Para calcular inversas usaremos el método de las dos triangulaciones:

 - Triangulas por abajo con 0
 - Triangulas por arriba con 0
 - Conviertes en I

Todo esto partiendo de una matriz/determinante "doble". Adjunto proceso:

7. Uso de parámetros

El uso de parámetros en el estudio de rangos de matrices es bastante extenso. Para ello debemos aislar los casos "problemáticos" mediante el uso de las anteriores "meta-propiedades" mencionadas, pero teniendo en cuenta una regla especial:

- NO multiplicar (ni dividir) por parámetros NUNCA la fila sustituída.

Es decir:

2*fila1 + 1*fila2 => está bien
a*fila1 + 4*fila2 => está bien
23*fila1 + 2a*fila2 => MAL

Y con esto terminamos la entrada 2/5 del primer tema de matemáticas. La próxima entrada veremos hasta los subespacios de Rn.

Como siempre, saludos, y ¡Hasta la próxima!

Mundo exterior: Matmáticas - Tema 1: Matrices

Buenas!

Empezamos con las matemáticas, concretamente con el primer tema (matrices y vectores).

Este tema durará 5 entradas. En cada una os pondré el índice del tema y la parte que vamos a tratar de él.

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

1. Operaciones básicas:

  1.1. Suma

La suma de matrices se puede expresar como la suma de los elementos análogos de sendas matrices a sumar. Es decir, imaginad la siguiente suma:

(1 3 5) + (3 1 9)

Las de arriba son dos matrices de 1x3 (o 3x1... siempre me lío con esto! jajaja). El resultado lo podríamos definir como:

(1+3 3+1 5+9)

o lo que es lo mismo

(4 5 14)

  1.2. Resta

La resta de matrices se basa en el mismo método que la suma, pero en este caso se restarán los elementos correspondientes.

  1.3. Multiplicación

    a) Escalar

Multiplicar un escalar por una matriz equivale a multiplicar cada elemento de la matriz por dicho escalar. Es decir:

2*(1 3 5) = (2 6 10)

    b) Producto de matrices

La definición formal de la multiplicación de dos matrices, "A" y "B" es que dan como resultado una tercera matriz "C" cuyos elementos responden a la siguiente fórmula:

C_ij  = S a_ik b_kj

Siendo "k" el rango de todos los posibles valores de "A" o "B"

Pongamos un ejemplo:

A = 3 2 1

       4 5 7

       2 5 7

B = 3 8 4

       1 7 9

AB = C

C₂₃ = S a_2kb_k3 = 111 [(4*7+5*4+7*9)]

La matriz completa "C", sería:

       13   38    38

C = 30  109  111

2. Propiedades 

Existen cuatro propiedades básicas de las matrices:

a) n(A+B) = nA + nB [n = escalar; A, B = matrices]

b) (n+m)A = nA + mA [n, m = escalares; A = matriz]

c) A(B+C) = AB + AB [A, B, C = matrices]

d) IA = AI = I [A, I = matrices; I = matriz identidad]

Por otra parte, clarificando la última propiedad, hay una que no se "hereda" de la multiplicación: la propiedad conmutativa.

No es lo mismo AB que BA. Y esto se debe principalmente a dos cosas: la posible incompatibilidad de rangos y la posible alteración de rangos. Vamos a explicarlo:

a) Incompatibilidad:

Imaginad la matriz A, de dimensiones 4x7; por otra parte, la matriz B tiene dimensiones de 7x3.

Si efectuamos AB, obtendríamos una matriz de 4x3; si intentamos efectuar BA, nos encontramos con que no se puede (para efectuar una multiplicación, las dimensiones tienen que ser nxm, * mxo, cosa que no se cumple en este caso).

b) Alteración

¿Y si A es una matriz de 4x7 y B una de 7x4? Sería factible tanto AB como BA, pero si estudiamos el caso:

 - AB: resultado de una matriz 4x4 (4x7 * 7x4)

 - BA: resultado de una matriz 7x7 (7x4 * 4x7)

Ahí vemos como se alteran las dimensiones (y por tanto no pueden ser iguales).

Se entiende, por tanto, que no es lo mismo AB que BA, por lo que la propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices queda desestimada.

3. Otras operaciones

  3.1. Traza

La traza de una matriz responde a la siguiente fórmula:

TA = Sⁿ_k=1 a_kk [TA = Traza de A; a_kk = elemento (k, k) de A]

En otras palabras, consiste en sumar los elementos de la diagonal que corre de la esquina superior izquierda a la inferior derecha (conocida como diagonal principal), correspondiente a los índices donde i=j [(1, 1), (2, 2), (3, 3)...].

Para que una matriz pueda tener traza, ha de ser cuadrada (mismo número de filas que de columnas).

  3.2. Transpuestas

Transponer una matriz consiste en invertir el orden de todos sus elementos, de manera que:

C_ij = A_ji

Como ejemplo, podríamos tener:

       3 2 1

A = 4 5 7

         3 4

 A^t = 2 5

         1 7

  3.3.Simétricas 

Una matriz simétrica es aquella cuya transpuesta es la misma que la "original".

  3.4. Antisimétricas

Una matriz antisimétrica es aquella cuya transpuesta es equivalente a la negativa (no inversa) de la "original".

Su diagonal principal es 0.

Con esto finalizamos la primera entrega de este curso de matemáticas. Comentar que me había dejado el apartado de "Transpuestas" en el índice...

La próxima entrega veremos la segunda parte de este primer tema.

Saludos, y

¡Hasta la próxima!