Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Cálculo de áreas)

Buenas!

Seguimos "al máximo" con las matemáticas (chiste de funciones MUY MALO, jejeje).

Comentaros que sigo estudiando matemáticas en la UNED (grado de matemáticas), y que, por tanto, en cuanto pueda volcaré mi conocimiento para que aquellos que quieran (y lo necesiten) puedan obtenerlo :-)

¡Más cosas!

Ya tengo preparado mi regalo de navidad... una Raspberry Pi, la cuál será sometida a un proceso de DIY, que documentaré en el blog de Cosplay & DIY (cosplayco), dejando la parte técnica aquí (escepticismoilustrado).

Recordaros también que estoy adelantando una sección de programación en YouTube (¡próximamente dejo links!)

Y, bueno, ahora sí, a lo que vamos...





En esta entrada vamos a ver cómo aplicar los conceptos de integral doble a la hora de calcular áreas de figuras poligonales simples.

Empezamos con un círculo sencillo, determinado por la formula siguiente:

(x – 1)² + y² = 9

Centro: (1, 0)

Radio: sqrt(9) = 3

Es decir, una circunferencia de radio 3 uds. con centro en el punto (1, 0). Los puntos máximos serán:

(-2, 0)

(4, 0)

(0, 3)

(0, -3)

Usando los conceptos de la entrada anterior, podemos calcular su área así:

(x – 1)² + y² = 9

y² = 9 – (x – 1)²;

y = ±sqrt(9 – (x – 1)²);

ʃʃ_D f(x,y) d_xd_y = ʃ[⁴, _-2]d_x ʃ[^{sqrt(9 – (x – 1)2)}, _{-sqrt(9 – (x – 1)2)}] d_y f(x,y)

Para finalizar, vamos a ver un ejemplo clásico:

Calcular el área en una corona entre círculos.

¿Qué es una corona entre círculos? es el área que queda entre dos círculos "embebidos" (presumiblemente concéntricos); es decir, una rosquilla bidimensional (si fuese en tres dimensiones sería un toroide).

Vamos a usar estas dos circunferéncias concéntricas:

(x – 1)² + y² = 9; y = ±sqrt(9 – (x – 1)²) ==> Centro: (1, 0), radio: 3

(x – 1)² + y² = 4; y = ±sqrt(4 – (x – 1)²) ==> Centro: (1, 0), radio: 2

Que, usando las propiedades de adición de recintos colindantes, podemos inquirir:

ʃ ʃf(x,y) d_xd_y =

ʃ[_-1, ^-2] d_x ʃ[^{sqrt(9 – (x – 1)2)}, _{-sqrt(9 – (x – 1)2)}] d_y f(x, y) +

ʃ[⁴, ₃] d_x ʃ[^{sqrt(9 – (x – 1)2)}, _{-sqrt(9 – (x – 1)2)}] d_y f(x, y) +

ʃ[³, _-1] d_x ʃ[^{sqrt(9 – (x – 1)2)}, _{sqrt(4 – (x – 1)2)}] d_y f(x, y) +

ʃ[³, _-1] d_x ʃ[^{-sqrt(4 – (x – 1)2)}, _{-sqrt(9 – (x – 1)2)}] d_y f(x, y)

Es decir, hemos partido el área en cuatro partes: 

• Desde el punto (-2, 0) al (-1, 0), es decir, los puntos máximos (por la izquierda) de ambas circunferencias.
• Desde el punto (-1, 0) al (3, 0), es decir, los puntos máximos de la circunferencia interior
• Desde el punto (3, 0) al (4, 0), es decir, los puntos máximos (por la derecha) de ambas circunferencias.

De este modo quedan cuatro áreas (izquierda, dos centrales - arriba y abajo - y derecha). No hay más que sumar y tenemos el área.

Y hasta aquí la entrada, espero que os haya sido útil, y como digo siempre,

¡Hasta la próxima!