Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Cambio de variables doble, polares, ejemplos)

Buenas!

Acabamos ya el tema 3, integrales dobles.

En cuanto acabe esta entrada tocará más teoría de Remote Tools, aunque estoy pensando en hacer algún cambio.

Esto es porque hacer blog matemático me ayuda un poco con los estudios, y a la vez avanzo la materia...

Si al final de la entrada anterior vimos cambios de variables, en esta vamos a ver cambios de variables dobles.





En un cambio de variable doble, cambiamos (literalmente) el recinto de integración, y además, luego no desharemos el cambio (da un resultado igual).

Para que lo de arriba sea cierto, tenemos (en realidad) que cambiar tres cosas:

• El recinto (D)
• La función (f(x,y))
• Los diferenciales (dx, dy)

Así, las nuevas variables serán "u" y "v", y su relación con los diferenciales iniciales será:

dxdy = |J|dudv

Donde, en este caso "u" y "v" son dos cambios de variable. El determinante |J| viene dado por:

dx/du    dx/dv

dy/du    dy/dv

En este determinante, "dX" no se refiere a diferencial; lo hace a la derivada parcial de "X"

Hay un cambio doble "estándar", que se conoce como cambio a polares. Vamos a verlo:

ʃʃ_De^x2+y2   D = {x²+y² <= 4}

x = r cos f

y = r sin f

r = sqrt(x² + y²)

r² = x² + y²

            cos f     -r sin f

|J| =      sin f      r cos f   = r cos² f + sin² f = r

d_xd_y =rd_rrd_f

ʃʃ_De^r2   D = {r <= 2} = ʃ [^2p, ₀] df ʃ [², ₀] d_r * e^r2 * r

Vale, este ejemplo así de buenas puede resultar complicado... vamos a ver la norma general de las polares (que por cierto, como su nombre invita, están basadas en ángulos y trigonometría):

Partimos de la siguiente base:

Y obtenemos los siguientes cambios: 

x = r cos f

y = r sin f

(x² + y² = r² => Pitágoras)

|J| = r

ʃʃ_D f(x,y) d_xd_y = ʃʃ_D’ f(r, f) rd_rd_f = ʃ [^fmax, _fmin] d_f ʃ [^rmax(f),_rmin(f)] d_r * r * d_r

Este cambio es especialmente favorable cuando la función o "D" tienen una expresión del tipo "x² + y^2"

Para terminar, un par de ejemplos prácticos de la aplicación del cambio a polares:

Espero que os sea útil...

Para la próxima entrada estad atentos, vendrá con alguna sorpresa segura!

Como siempre os digo...

¡Hasta la próxima!