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Mundo exterior: Matmáticas - Tema 1: Matrices


Buenas!

Empezamos con las matemáticas, concretamente con el primer tema (matrices y vectores).

Este tema durará 5 entradas. En cada una os pondré el índice del tema y la parte que vamos a tratar de él.

  1. Matrices y vectores 
    1. Operaciones básicas
      1. Suma
      2. Resta
      3. Multiplicación
    2. Propiedades
    3. Otras operaciones
      1. Traza
      2. Simétricas
      3. Antisimétricas
    4. Determinantes
      1. Explicación
      2. Determinantes de orden 3
      3. Determinantes de orden 4
      4. Propiedades
      5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
    5. Rango
    6. Inversas
    7. Uso de parámetros
    8. Vectores de Rn
      1. Tipos
      2. Operaciones básicas
        1. Suma
        2. Producto escalar
      3. Dependencia / independencia lineal
      4. Subespacios de Rn
      5. Familias generadoras y bases
      6. Otras operaciones
        1. Norma euclidiana
        2. Producto de vectores
        3. Producto vectorial (restringido a R3)
    9. Sistemas de ecuaciones lineales
      1. Tipos
1. Operaciones básicas:
  1.1. Suma

La suma de matrices se puede expresar como la suma de los elementos análogos de sendas matrices a sumar. Es decir, imaginad la siguiente suma:

(1 3 5) + (3 1 9)

Las de arriba son dos matrices de 1x3 (o 3x1... siempre me lío con esto! jajaja). El resultado lo podríamos definir como:

(1+3 3+1 5+9)

o lo que es lo mismo

(4 5 14)

  1.2. Resta

La resta de matrices se basa en el mismo método que la suma, pero en este caso se restarán los elementos correspondientes.

  1.3. Multiplicación
    a) Escalar

Multiplicar un escalar por una matriz equivale a multiplicar cada elemento de la matriz por dicho escalar. Es decir:

2*(1 3 5) = (2 6 10)

    b) Producto de matrices

La definición formal de la multiplicación de dos matrices, "A" y "B" es que dan como resultado una tercera matriz "C" cuyos elementos responden a la siguiente fórmula:

Cij  = S aik bkj

Siendo "k" el rango de todos los posibles valores de "A" o "B"

Pongamos un ejemplo:

A = 3 2 1
       4 5 7

       2 5 7
B = 3 8 4
       1 7 9

AB = C

C23 = S a2kbk3 = 111 [(4*7+5*4+7*9)]



La matriz completa "C", sería:

       13   38    38
C = 30  109  111


2. Propiedades 

Existen cuatro propiedades básicas de las matrices:

a) n(A+B) = nA + nB [n = escalar; A, B = matrices]
b) (n+m)A = nA + mA [n, m = escalares; A = matriz]
c) A(B+C) = AB + AB [A, B, C = matrices]
d) IA = AI = I [A, I = matrices; I = matriz identidad]

Por otra parte, clarificando la última propiedad, hay una que no se "hereda" de la multiplicación: la propiedad conmutativa.

No es lo mismo AB que BA. Y esto se debe principalmente a dos cosas: la posible incompatibilidad de rangos y la posible alteración de rangos. Vamos a explicarlo:

a) Incompatibilidad:

Imaginad la matriz A, de dimensiones 4x7; por otra parte, la matriz B tiene dimensiones de 7x3.

Si efectuamos AB, obtendríamos una matriz de 4x3; si intentamos efectuar BA, nos encontramos con que no se puede (para efectuar una multiplicación, las dimensiones tienen que ser nxm, * mxo, cosa que no se cumple en este caso).

b) Alteración

¿Y si A es una matriz de 4x7 y B una de 7x4? Sería factible tanto AB como BA, pero si estudiamos el caso:

 - AB: resultado de una matriz 4x4 (4x7 * 7x4)
 - BA: resultado de una matriz 7x7 (7x4 * 4x7)

Ahí vemos como se alteran las dimensiones (y por tanto no pueden ser iguales).

Se entiende, por tanto, que no es lo mismo AB que BA, por lo que la propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices queda desestimada.

3. Otras operaciones
  3.1. Traza

La traza de una matriz responde a la siguiente fórmula:

TA = Snk=1 akk [TA = Traza de A; akk = elemento (k, k) de A]

En otras palabras, consiste en sumar los elementos de la diagonal que corre de la esquina superior izquierda a la inferior derecha (conocida como diagonal principal), correspondiente a los índices donde i=j [(1, 1), (2, 2), (3, 3)...].

Para que una matriz pueda tener traza, ha de ser cuadrada (mismo número de filas que de columnas).


  3.2. Transpuestas

Transponer una matriz consiste en invertir el orden de todos sus elementos, de manera que:

Cij = Aji

Como ejemplo, podríamos tener:

       3 2 1
A = 4 5 7

         3 4
 At = 2 5
         1 7

  3.3.Simétricas 

Una matriz simétrica es aquella cuya transpuesta es la misma que la "original".

  3.4. Antisimétricas

Una matriz antisimétrica es aquella cuya transpuesta es equivalente a la negativa (no inversa) de la "original".

Su diagonal principal es 0.


Con esto finalizamos la primera entrega de este curso de matemáticas. Comentar que me había dejado el apartado de "Transpuestas" en el índice...

La próxima entrega veremos la segunda parte de este primer tema.

Saludos, y

¡Hasta la próxima!