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Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte II

Buenas!

Esta entrada vuelve a tratar sobre el mundo exterior... para tratar de nuevo el tema de los vectores de Rn.

Por otra parte, mis proyectos siguen trayectorias diferentes a lo que realmente me gustaría, pero así es la vida y poco se puede hacer con las cosas que son como son...


  1. Matrices y vectores 
    1. Operaciones básicas
      1. Suma
      2. Resta
      3. Multiplicación
    2. Propiedades
    3. Otras operaciones
      1. Traza
      2. Simétricas
      3. Antisimétricas
    4. Determinantes
      1. Explicación
      2. Determinantes de orden 3
      3. Determinantes de orden 4
      4. Propiedades
      5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
    5. Rango
    6. Inversas
    7. Uso de parámetros
    8. Vectores de Rn
      1. Tipos
      2. Operaciones básicas
        1. Suma
        2. Producto escalar
      3. Dependencia / independencia lineal
      4. Subespacios de Rn
      5. Familias generadoras y bases
      6. Otras operaciones
        1. Norma euclidiana
        2. Producto de vectores
        3. Producto vectorial (restringido a R3)
    9. Sistemas de ecuaciones lineales
      1. Tipos


8.5. Familiar generadoras y bases

Definimos una familia generadora "V1, ..., Vn" de la siguiente forma:

"V1, ..., Vn" es una familia generadora de "F" sii para cualquier elemento perteneciente a "F" éste es una combinación lineal de "V1, ..., Vn".

Es decir, si "F" es la colección de combinaciones lineales de "V1, ..., Vn"

Dado un "V1, ..., Vn" que es familia generadora (FG) de "F", si "V1, ..., Vn" es L.I. podemos decir que es una base de "F".

Todas las bases de "F" constan del mismo número de elementos (misma dimensión).

Dado un espacio "F" de dimensión "r", podemos afirmar:


  • Si hay más de "r" elementos ==> son L.D.
  • Si hay "r" elementos ==> si son independientes (como máximo "r" elementos) <==> son generadores (como mínimo "r" elementos)
Ahora hablemos de la otra parte, "F" (la base):

"F" se describe de dos maneras:

 - Por generadores:

(ejemplo)

F = <(1, 2, 0, 1), (-2, 0, 3, 1), (-1, 2, 3, -2)>

Esta opción nos trae dos problemas:
  • Es difícil extraer una base
  • Es difícil extraer una serie de ecuaciones para "testear" la base

- Por ecuaciones:

F = {(x, y, z, t) | x – 2y = z; 2x + 4z = 3t}

Al usar este sistema, tenemos que tener en cuenta varias cosas:
  1. Las ecuaciones no pueden ser cuadráticas (X2)
  2. Las ecuaciones no pueden ser trigonométricas (sin/cos)
  3. Las ecuaciones no pueden tener términos independientes (x + 1) => Todas las "F" pasan por el origen
Amén de dos problemas:
  • Se tienen que "limpiar" las ecuaciones
  • Problemas al encontrar una base
Para ello, tenemos el método para pasar de generadores a ecuaciones y viceversa.

- De ecuaciones a generadores




Por si no se lee del todo bien, explico los pasos:

 - Se toman los coeficientes de las ecuaciones y se monta una matriz, ampliando con los resultados
 - Triangulamos por la parte inferior, quedando dos zonas:
     * De la D.P a la izquierda: soluciones
     * De la D.P a la derecha: parámetros
 - Armamos unas nuevas ecuaciones con las soluciones y parámetros
 - Despejamos las soluciones en base a los parámetros
 - Usando los parámetros, creamos un vector que represente todas las soluciones en base a los parámetros.
 - Extraemos factor común donde se pueda
 - Para cada vector, hacemos una "versión" en el que un parámetro vale 1 y el resto 0
 - De la colección anterior obtenemos la base en vectores

De este ejemplo extraemos dos conclusiones:

 - Como tiene dos libertades (parámetros), podemos decir que tiene 2 dimensiones
 - Es un plano (2D) dentro de un espacio de cuatro dimensiones (las ecuaciones tenían cuatro incógnitas).

- De generadores a ecuaciones (doble ejemplo, esta vez)



Veamos el seguimiento de ambos ejemplos:

 - Dado un "F", lo agrupamos en una serie de ecuaciones lineales
 - De estas ecuaciones lineales podemos extraer una matriz (véase que no son más que los vectores "A", "B", y "C" transpuestos), ampliada con las incógnitas.
 - Triangulamos la parte inferior izquierda a la D.P, y obtenemos las ecuaciones transformadas.
 - Tomamos las igualadas a 0, ya que son las L.I, y listo.

Del primer ejemplo, podemos decir que es un plano dentro de un ámbito de cuatro dimensiones.

El segundo ejemplo es algo más rápido; y se puede ver en funcionamiento el primer procedimiento (de ecuación a generador).

Bien, y con esto decir que aquí acaba la segunda parte de los vectores de Rn. La próxima parte (quinta y última entrega del primer tema) seguiremos un poco más con los vectores de Rn, y veremos también el resto de tema.

Espero que os guste, y....

¡Hasta la próxima!