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Mundo exterior: Matemáticas - Tema II (Representación de funciones con dos variables)

Buenas!

Seguimos con las "mates"; pero antes, un pequeño inciso (como viene siendo costumbre últimamente).

Ya le he dado uso a mi disco duro externo: he colocado todas las distro que uso, he usado y (en un futuro) usaré. Dejo la lista:
  • Hiren's Boot 15
  • WifiWay 3.4
  • AVG Rescue CD
  • Dr.Web Live CD
  • Kaspersky Rescue Disk
  • BackTrak 5
  • Ophcrack XP
  • Ophcrack Vista/7
  • Partition wizard
  • Linux Mint Mate x86
  • Helix3 R1
Y, aparte, tengo destinado un futuro emplazamiento para mis tablas rainbow y demás (capturas de tráfico, informes...) jejeje.

En fin, sigamos con las matemáticas: en esta entrada veremos la representación de funciones de dos variables.

Para ello, distinguiremos dos tipos de funciones:
 - Cónicas
 - No cónicas

Empecemos con el primer tipo:

Cónicas:

Las funciones cónicas tienen la siguiente forma:

f(x, y) = Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

El término "Cxy" determina la orientación de la función: si "C" vale 0, los ejes de la cónica serán rectos.

No cónicas:

A riesgo de parecer muy obvio, si no cumple la forma anterior, no es cónica...

De momento, pasaremos a otro punto importante, para luego retomar la identificación de las cónicas. Hablemos ahora de los dominios de las funciones.

El dominio de una función de dos variables es una función tal que convierte el espacio R2 en R. En esta "transformación", tenemos que evaluar (pues pueden resultar conflictivos) una serie de casos, a saber: 
  • A / B => si B = 0
  • √A => si A < 0
  • Ln(A) => si a <= 0
  • arcsin(A) => si |A| >= 1
Como vemos, son casos problemáticos, pues producen "fallo" en los cálculos. Así, el análisis de dominio de una función se basará en estos puntos. Vamos con un ejemplo:

f(x, y) = sqrt((x2 – y2 + 4) / ((x – 1)2 + y2 – 9)) (sqrt() = raíz cuadrada)

He coloreado los paréntesis para que se puedan distinguir fácilmente. Veamos qué casos son "peligrosos" para la evaluación de esta función:

a) ((x – 1)2 + y2 – 9) = 0
b) (x2 – y2 + 4) / ((x – 1)2 + y2 – 9) < 0

Vamos a justificar ambos casos:

 - Si la expresión "a" se cumple, se haría una división por 0, por lo que de la raíz cuadrada ni hablamos.
 - Si la expresión "b" se cumple, no podemos hacer  la raíz cuadrada (al menos dentro del cuerpo de los reales, que es donde trabajamos)

El procedimiento para evaluar estas anomalías creo que será conocido: miramos qué condiciones hay que cumplir para que pase:

a) ((x – 1)2 + y2= 9

Si se cumple esto, tendríamos un problema. Vemos que la función de arriba define una circunferencia caracterizada por los siguientes datos:

 * Origen: (-1, 0)
 * Radio: 3 (sqrt(9))

Para los que no sepáis de donde viene esto, un inciso: la función que define una circunferencia es la siguiente:

f(x, y) = (x+a)^2 + (y+b)^2 = c

De aquí obtenemos:

 * Origen: (a, b)
 * Radio: sqrt(c)


b) Se divide en dos:

b1) ((x – 1)2 + y2= 9 (ya resuelta)
b2) (x2 – y2) = -4 => ±sqrt(x2 + 4) = y => y = ±(x+2)

La solución de "b2" es una fórmula de circunferencia, pero con "c" negativo (por lo que es, en realidad, una parábola doble).

Para no abusar tanto del escaneo de apuntes, voy a echar mano de mi amigo "Corel" para ilustrar un poco el panorama: 
















Si representamos ambas soluciones, quedan delimitadas 7 zonas, marcadas arriba. Del mismo modo que en la entrada anterior, comprobamos el signo de las ecuaciones "a" y "b" y calculamos su "total".

En este caso, nos interesan las zonas que sean mayores que 0 (positivas), ya que a fin de cuentas tendremos que hacer una raíz cuadrada.

Diríamos, en este caso, que la función solo tiene dominio en las zonas 2, 3, 5, y 6.

Una vez visto un ejemplo de aplicación de dominio, volvamos a las cónicas.

Identificación de cónicas:

f(x, y) = Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (suponemos "C" = 0)

Pongamos un ejemplo:


4x2y2 + 3x + 2y – 25 = 0
(2x + ¾)2 – 9/4(y2 – 2y) – 25 = 0
(2x + ¾)2 – 9/4[(y – 1)2 - 1] – 25 = 0
(2x + ¾)2(y – 1)2 = 105/4

Vamos a explicar un poco cómo llegamos a la forma de abajo (antes os comentaba que era la función que define una circunferencia).

Paso 1: Tenemos la ecuación tal cual
Paso 2: Agrupamos los términos con "x" (marcados en rojo), y factorizamos. Agrupamos también los términos con "y" (marcados de azul verdoso)
Paso 3: nos valemos de la siguiente expresión inmediata para ejercer el cambio sobre los términos "y":

(ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2

Ya que se cumple, podemos sustituir.

Paso 4: Despejamos para dejar en forma de "circunferencia".

Ahora bien, una vez tenemos nuestra ecuación "arreglada", tenemos que ver varias cosas:

Si sig("A") != sig("B") => hipérbola
Si sig("A") = sig("B") => elipse o circunferencia (puede ser imaginaria)

"sig()" es una función que obtiene el signo del coeficiente especificado.

Si tenemos una circunferencia es fácil dibujarla (buscamos el centro y usamos el radio); si es una hipérbola,  una elipse, o en general, procedemos así:
  • Buscamos el centro
  • Buscamos los puntos "x" e "y" en el centro
  • Dibujamos los puntos
Vamos por partes, con una versión un poco diferente al ejemplo anterior ((2x + ¾)2 + (y – 1)2 = 105/4):

Obtener el centro:

Para ello, tomamos parte de la ecuación (la correspondiente a cada variable, sin cuadrado) y la igualamos a 0, tal que: 

2x + 3/4 = 0 => x = -3/8
y - 1 = 0 => y = 1

Obtenemos nuestro punto (-3/8, 1), que es el centro.


Puntos "x" e "y" en el centro

Usando los valores del centro, resolvemos la ecuación correspondiente a la variable contraria, usando el cuadrado, tal que: 

(para x = -3/8): (y - 1)= 105/4; y = 1±sqrt(105/4)
(para y = 1): (2x + 3/4)= 105/4; x = (±sqrt(105/4) - 3/4)/2

y obtenemos estas dos expresiones: 

x = (±sqrt(105/4) - 3/4)/2
y = 1±sqrt(105/4)

Que usaríamos para dibujar (en este caso) nuestra elipse.

En el caso anterior (con los términos restando) obtenemos que en "y" no hay punto aplicable (ya que queda "y = 1±sqrt(-105/4)", y no hay solución real para ello), y "x" queda igual.

Con esto acabamos por esta vez. La próxima entrada tratará de curvas de nivel, gradientes y demás cosas similares (mis apuntes tienen una estructura un poco caótica... jejeje).

Como siempre, ¡Nos vemos!