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Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Introducción)

Buenas!

Siguen los movimientos continuados en la vida... nuestro canal de YouTube va viento en popa (en breve dejaré un enlace permanente en la zona de secciones.

Y bien, mueve moviendo ya casi tengo mi certificado en ISPA (3 meses ya...), y en breve empiezo el grado de matemáticas en la UNED...

Y hablando de matemáticas, estas cinco entradas irán dedicadas al tercer tema de matemáticas de nuestro curso universitario ;-), concretamente, trataremos integrales dobles (tienen mucha fibra, aunque las integrales triples tienen mas :^P)






Bromas aparte, vamos a lo que vamos:

Definición formal:

ʃʃDf(x,y) dxdy = ʃ [x max, xmin] ʃ [y max(x), y min(x)]f(x,y) dydx = ʃ [y max, y min] ʃ [x max(y), x min(y)]f(x,y) dxdy

Definimos una integral doble como se muestra arriba; la notación es un poco "diferente" debido a la limitación textual del blog... los [item, item] representan los límites de integración, siendo el primero el límite superior.

De este modo, una integral doble sobre "D", aplicado a una función "f(x,y)" (para funciones de varias variables, ir aquí) con diferenciales de "x" e "y" se puede ver como dos integrales separadas, de manera que la primera (exterior) será independiente; por otra parte, la segunda (interior) será dependiente de la primera.

El grado de dependencia se establece en base a que los límites de la integral interior son en base a los supuestos resultados de la integral exterior. Si ahora os suena "a chino", con un ejemplo queda todo más claro, vamos allá.

Ejemplo:


ʃʃD f(x,y) dxdy = ʃ[2,1] ʃ[4,1] f(x,y) dydx

f(x,y) = (x2 + y);

ʃ [2,1] ʃ [4,1](x2+y) =* ʃ [2,1] 3x2 + 15/2 dx
* ʃ [4,1](x2 + y) dy =** x2 * 4 + 16/2 + (x2 * 1 + 12/2) = 3x2 + 15/2


** x2 + y = x2y + y2/2

Como viene siendo costumbre, procedemos a explicar el ejemplo:

Partiendo del polígono rectángulo formado por los puntos [(1,1), (2,4), (1,4), (2,1)] vamos a calcular su área; para ello usaremos una integral doble.

Así, obtenemos primero el par "x min" / "x max", que en este caso son 2 y 1 (son los valores máximo y mínimo - respectivamente - que adquiere el eje "x").

El siguiente paso es obtener el par "y min(x)" / "y max(x)", que en este caso son 4 y 1. Para introducir el concepto de derivada doble de manera separada de la definición de este par, en este ejemplo podemos "asumir" que son los valores máximo y mínimo del eje "y".

Acto seguido planteamos la integral doble, tal como se muestra en la primera línea.

Una vez definida, sustituimos la función genérica por la función de área del cuadrilatero (segunda línea).

Si os fijáis, veréis que en el igual hay un "*". Esto es debido a que se ha omitido el paso intermedio (lo podéis ver abajo - también tiene un paso omitido que se puede ver abajo de éste).

Pasemos a otro ejemplo, en el que solidificaremos los conceptos:

Aquí tenemos un triángulo, formado por los puntos [(1,0), (4,0), (4,3)].

El par de puntos "x max" / "x min", sería, en este caso 4 y 0.

Pero en el caso de "y max(x)" / "y min(x)",  ¿Qué?

Pues bien, vamos a ello. Como hemos dicho anteriormente, son puntos en función de "x", por tanto pueden ser variables.

Para averiguar el par de "y" debemos hacer la siguiente pregunta: "¿Cuánto vale respecto "x"?

En el caso de "y min(x)" es sencillo: y = 0, ya que el mínimo valor de de "y" es siempre 0

Pero en el caso de "y max(x)" es diferente en cada punto, por lo que tendremos que usar una función.

Antes de continuar, clarificar una cosa (ya que puede que explicado así se vea más claro...):

y min(x) se refiere al punto mínimo si trazásemos una vertical en el recinto. En este caso, coincide con el cateto que recorre el eje "x"; por ello, en cualquier punto vale 0.

y max(x) se refiere al punto máximo si trazásemos una vertical en el recinto. En este caso, coincide con la hipotenusa del triángulo, ya que es éste siempre el punto álgido de "y".

Tras esta aclaración, podemos asociar la función de la hipotenusa con "y max(x)", es decir, "y max(x) = x-1".

De esta manera, nuestra derivada quedaría tal que así:

ʃ[4,1] ʃ[x - 1,0] f(x,y)

Dejaré, ahora que están listos los conceptos, una lista de "tareas" a realizar para integrar una integral doble:
  • Integrar parte interior, luego el total. Se toman como "integrales parciales", es decir, se toma el diferencial como variable y el resto como constante.
  • Cuando se sustituye, se hace solo en el diferencial.
  • Se asume que entre "x min" y "x max" (o con "y") no hay "agujeros", es decir, que el recinto es continuo.
Integrales de área segmentada:

Cuando tenemos un área segmentada (es decir, que "x" o "y" son discontinuos en algún punto), se puede proceder a hacer una integral de área segmentada.

Veamos un ejemplo de área segmentada:

Si intentamos recorrer "y min(x)" / "y max(x)", vemos que en el punto en el que "se cierra", el valor de "y" sería un doble valor. Es por ello que, en ese caso, sería un área segmentada.

En estos casos, lo que se puede hacer es una integral de área segmentada, que consiste en dividir el área original el "sub-áreas" que sí sean continuas.

Es decir:

Si D = D1UD2 y D1nD2 = 0 (Líneas o puntos), entonces la integral doble de "D" se puede definir como la integral doble de "D1" más la integral doble de "D2".

Obviamente esta definición se puede extender a "n" "sub-áreas".



Espero que esta entrada, al igual que todas las demás, os resulte útil.

Nos vemos en subsiguientes entradas, o lo que es lo mismo...

¡Hasta la próxima!