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Mundo exterior - Matemáticas: Tema III (Integrales dobles - Cálculo de áreas)

Buenas!

Seguimos "al máximo" con las matemáticas (chiste de funciones MUY MALO, jejeje).

Comentaros que sigo estudiando matemáticas en la UNED (grado de matemáticas), y que, por tanto, en cuanto pueda volcaré mi conocimiento para que aquellos que quieran (y lo necesiten) puedan obtenerlo :-)

¡Más cosas!

Ya tengo preparado mi regalo de navidad... una Raspberry Pi, la cuál será sometida a un proceso de DIY, que documentaré en el blog de Cosplay & DIY (cosplayco), dejando la parte técnica aquí (escepticismoilustrado).

Recordaros también que estoy adelantando una sección de programación en YouTube (¡próximamente dejo links!)

Y, bueno, ahora sí, a lo que vamos...





En esta entrada vamos a ver cómo aplicar los conceptos de integral doble a la hora de calcular áreas de figuras poligonales simples.

Empezamos con un círculo sencillo, determinado por la formula siguiente:

(x – 1)2 + y2 = 9

Centro: (1, 0)

Radio: sqrt(9) = 3

Es decir, una circunferencia de radio 3 uds. con centro en el punto (1, 0). Los puntos máximos serán:

(-2, 0)
(4, 0)
(0, 3)
(0, -3)

Usando los conceptos de la entrada anterior, podemos calcular su área así:

(x – 1)2 + y2 = 9
y2 = 9 – (x – 1)2;
y = ±sqrt(9 – (x – 1)2);
ʃʃD f(x,y) dxdy = ʃ[4, -2]dx ʃ[sqrt(9 – (x – 1)2), -sqrt(9 – (x – 1)2)] dy f(x,y)



Para finalizar, vamos a ver un ejemplo clásico:

Calcular el área en una corona entre círculos.

¿Qué es una corona entre círculos? es el área que queda entre dos círculos "embebidos" (presumiblemente concéntricos); es decir, una rosquilla bidimensional (si fuese en tres dimensiones sería un toroide).

Vamos a usar estas dos circunferéncias concéntricas:

(x – 1)2 + y2 = 9; y = ±sqrt(9 – (x – 1)2) ==> Centro: (1, 0), radio: 3
(x – 1)2 + y2 = 4; y = ±sqrt(4 – (x – 1)2) ==> Centro: (1, 0), radio: 2

Que, usando las propiedades de adición de recintos colindantes, podemos inquirir:

ʃ ʃf(x,y) dxdy =
ʃ[-1, -2] dx ʃ[sqrt(9 – (x – 1)2), -sqrt(9 – (x – 1)2)] dy f(x, y) +
ʃ[4, 3] dx ʃ[sqrt(9 – (x – 1)2), -sqrt(9 – (x – 1)2)] dy f(x, y) +
ʃ[3, -1] dx ʃ[sqrt(9 – (x – 1)2), sqrt(4 – (x – 1)2)] dy f(x, y) +
ʃ[3, -1] dx ʃ[-sqrt(4 – (x – 1)2), -sqrt(9 – (x – 1)2)] dy f(x, y)

Es decir, hemos partido el área en cuatro partes: 
  • Desde el punto (-2, 0) al (-1, 0), es decir, los puntos máximos (por la izquierda) de ambas circunferencias.
  • Desde el punto (-1, 0) al (3, 0), es decir, los puntos máximos de la circunferencia interior
  • Desde el punto (3, 0) al (4, 0), es decir, los puntos máximos (por la derecha) de ambas circunferencias.
De este modo quedan cuatro áreas (izquierda, dos centrales - arriba y abajo - y derecha). No hay más que sumar y tenemos el área.



Y hasta aquí la entrada, espero que os haya sido útil, y como digo siempre,

¡Hasta la próxima!